Geometria euclidiana

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Euclides

Na matemática, geometria euclidiana é a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandria.

História[editar | editar código-fonte]

Embora tenham se perdido mais de metade dos livros escritos por Euclides, ainda restaram os treze que constituem Os elementos e outros publicados por volta de 300 a.C., contemplando a aritmética, a geometria e a álgebra.[1]

O texto de "Os elementos" foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos e, então, provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.

Os postulados[editar | editar código-fonte]

Seus conceitos e relações foram desenvolvidos com base em proposições conhecidas como axiomas e postulado. Para Aristóteles axiomas são verdades incontestáveis aplicadas a todas as ciências e os postulados eram verdades sobre um determinado tema (neste caso, a geometria) e foi assim também usado por Euclides[2] Ao todo, são dez proposições que utilizam os conceitos de ponto, intermediação e congruência.[3] Toda geometria que satisfaz a todos eles é considerada euclidiana. Os axiomas são:[2]

  • Axioma 1: Coisas que são iguais a uma mesma coisa, são iguais entre si.
  • Axioma 2: Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais.
  • Axioma 3: Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
  • Axioma 4: Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais.
  • Axioma 5: O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.

Os axiomas não são passíveis de demonstração por serem evidentemente verdadeiros. Os postulados surgem com o desenvolvimento dos axiomas e, se provados verdadeiros, são considerados teoremas.[2] Estes são os seguintes:[4]

  • Postulado 1: Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une;
  • Postulado 2: Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;
  • Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
  • Postulado 4: Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes);
  • Postulado 5: Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Postulado de Euclides ou Postulado das Paralelas)

O quinto axioma permanece sem ser provado até hoje, não se constituindo um teorema, apesar de vários matemáticos famosos tê-lo tentado fazer.[5]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Biografia de Euclides. Visitado em 20 de janeiro de 2013.
  2. a b c Freitas, Brasilio Alves (2013). Introdução à Geometria Euclidiana Axiomática com o Geogebra UFJF. Visitado em 28 de julho de 2015.
  3. Geometria Euclidiana Unicamp. Visitado em 27 de julho de 2015.
  4. Os Elementos de Euclides. Visitado em 20 de janeiro de 2013.
  5. Braz, Fernanda Martins. História da Geometria Hiperbólica UFMG. Visitado em 27 de julho de 2015.
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