Interpolação trigonométrica
Em matemática, interpolação trigonométrica é processo pelo qual se obtém um polinômio trigonométrico que passa por um conjunto de pares (x,y) dados. É uma forma de interpolação adequada somente para funções periódicas.
Formulação do Problema[editar | editar código-fonte]
O polinômio trigonométrico de grau n tem a forma:
com coeficientes: . Todo problema de interpolação é descrito como
, onde . Como o polinômio trigonométrico tem período , podemos assumir que
O problema agora é encontrar coeficientes, de forma que o polinômio trigonométrico satisfaça as condições de interpolação.
Se o número de pontos for ímpar:
e
Se o número de pontos for par:
e
Para ambos os casos:
Formulação no plano complexo[editar | editar código-fonte]
Utilizando a fórmula de De Moivre, podemos reescrever a soma de seno e cosseno como
Então o polinômio pode ser escrito como
onde , e
Se podemos reescrever como
onde é um polinômio de grau
O problema de interpolação, então, resume-se a
Exemplos[editar | editar código-fonte]
Exemplo 1[editar | editar código-fonte]
Encontrar o polinômio interpolador trigonométrico de grau dois para em
de forma que e onde
Exemplo 2[editar | editar código-fonte]
Interpolar os seguintes pontos:
Número de pontos (par) Grau:
- Resultado: