Interpolação trigonométrica

Em matemática, interpolação trigonométrica é processo pelo qual se obtém um polinômio trigonométrico que passa por um conjunto de pares (x,y) dados. É uma forma de interpolação adequada somente para funções periódicas.

Formulação do Problema

O polinômio trigonométrico de grau n tem a forma:

$p(x)=a_{0}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}\cos(jx)+\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sin(jx).\,$$p(x)=a_{0}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}\cos(jx)+\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sin(jx).\,$

com $2n-1$$2n-1$ coeficientes: $a_{0},a_{1},...a_{n}e\ b_{0},b_{1},...,b_{n}$$a_{0},a_{1},...a_{n}e\ b_{0},b_{1},...,b_{n}$. Todo problema de interpolação é descrito como

$f(x_{k})=y_{k}$$f(x_{k})=y_{k}$

, onde $k=0,1,2...n-1$$k=0,1,2...n-1$. Como o polinômio trigonométrico tem período $2\pi$$2\pi$, podemos assumir que $0\leq x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{N-1}<2\pi .\,$$0\leq x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{N-1}<2\pi .\,$

O problema agora é encontrar coeficientes, de forma que o polinômio trigonométrico satisfaça as condições de interpolação.

Se o número de pontos for ímpar: $m={\frac {n-1}{2}}$$m={\frac {n-1}{2}}$
e $\Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]$$\Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]$
Se o número de pontos for par: $m={\frac {n}{2}}$$m={\frac {n}{2}}$
e $\Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]+{\frac {A_{m}}{2}}\cdot \cos(m\cdot x)$$\Psi (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]+{\frac {A_{m}}{2}}\cdot \cos(m\cdot x)$
Para ambos os casos:

$A_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \cos(j\cdot x_{k})]$$A_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \cos(j\cdot x_{k})]$

$B_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \sin(j\cdot x_{k})]$$B_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \sin(j\cdot x_{k})]$

Formulação no plano complexo

Utilizando a fórmula de De Moivre, podemos reescrever a soma de seno e cosseno como
$e^{ikx}=cos(kx)+isen(kx)$$e^{ikx}=cos(kx)+isen(kx)$ Então o polinômio pode ser escrito como

$p(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},\,$$p(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},\,$

onde $c_{0}=a_{0}$$c_{0}=a_{0}$ , $c_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k}+ib_{k})$$c_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k}+ib_{k})$ e $c_{-}k={\frac {1}{2}}(a_{k}-ib_{k})$$c_{-}k={\frac {1}{2}}(a_{k}-ib_{k})$
Se $z=e^{ix}$$z=e^{ix}$ podemos reescrever $p(x)$$p(x)$ como $p_{n}(z)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}z^{k},\,$$p_{n}(z)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}z^{k},\,$
onde $z^{n}p_{n}(z)$$z^{n}p_{n}(z)$ é um polinômio de grau $\leq 2n.$$\leq 2n.$
O problema de interpolação, então, resume-se a $p_{n}(z_{k})=f(t_{k}),\qquad k=0,1,2,...,2n$$p_{n}(z_{k})=f(t_{k}),\qquad k=0,1,2,...,2n$

Exemplos

Exemplo 1

Encontrar o polinômio interpolador trigonométrico de grau dois para $f(t)=e^{sint+cost}$$f(t)=e^{sint+cost}$ em $[0;2]$$[0;2]$
$p_{2}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+c_{1}cost+c_{2}cost+b_{1}sint+b_{2}sin2t$$p_{2}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+c_{1}cost+c_{2}cost+b_{1}sint+b_{2}sin2t$
de forma que $p_{2}(t)=e^{sint_{l}+cost_{l}}$$p_{2}(t)=e^{sint_{l}+cost_{l}}$ e $t_{l}={\frac {2}{\pi }}{5}l$$t_{l}={\frac {2}{\pi }}{5}l$ onde $l=0,1,2,3,4.$$l=0,1,2,3,4.$
$a_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})coslt_{k},\,$$a_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})coslt_{k},\,$
$b_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})sinlt_{k},\,$$b_{l}={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{2n}f(t_{k})sinlt_{k},\,$
$a_{0}=3,12764,a_{1}=1,24872,a_{2}=0,09426,b_{1}=1,27135,b_{2}=0,49441$$a_{0}=3,12764,a_{1}=1,24872,a_{2}=0,09426,b_{1}=1,27135,b_{2}=0,49441$

Exemplo 2

Interpolar os seguintes pontos:

${\begin{array}{|c||cccc|}k&0&1&2&3\\f_{k}&1&3&-2&-1\end{array}}$${\begin{array}{|c||cccc|}k&0&1&2&3\\f_{k}&1&3&-2&-1\end{array}}$

Número de pontos $n=4\,$$n=4\,$ (par) Grau: $m={\frac {n}{2}}=2$$m={\frac {n}{2}}=2$

$x_{k}=k\cdot {\frac {2\pi }{4}}\Rightarrow x_{k}=\left\{0,\ {\frac {\pi }{2}},\ \pi ,\ {\frac {3}{2}}\pi \right\}$$x_{k}=k\cdot {\frac {2\pi }{4}}\Rightarrow x_{k}=\left\{0,\ {\frac {\pi }{2}},\ \pi ,\ {\frac {3}{2}}\pi \right\}$

$A_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot 0)={\frac {1}{2}}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)={\frac {1}{2}}$$A_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot 0)={\frac {1}{2}}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)={\frac {1}{2}}$

$A_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos({\frac {\pi }{2}})-2\cdot \cos(\pi )-1\cdot \cos({\frac {3}{2}}\pi )]={\frac {3}{2}}$$A_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos({\frac {\pi }{2}})-2\cdot \cos(\pi )-1\cdot \cos({\frac {3}{2}}\pi )]={\frac {3}{2}}$

$A_{2}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi )-2\cdot \cos(2\pi )-1\cdot \cos(3\pi )]=-{\frac {3}{2}}$$A_{2}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi )-2\cdot \cos(2\pi )-1\cdot \cos(3\pi )]=-{\frac {3}{2}}$

$B_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0$$B_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0$

$B_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2$$B_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2$

$B_{2}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0$$B_{2}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(k\cdot x_{k})=0$

Resultado:

$\Theta (x)={\frac {1}{4}}+A_{1}\cdot \cos(x)+B_{1}\cdot \sin(x)+{\frac {A_{2}}{2}}\cdot \cos(2x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{2}}\cos(x)+2\sin(x)-{\frac {3}{4}}\cos(2x)$$\Theta (x)={\frac {1}{4}}+A_{1}\cdot \cos(x)+B_{1}\cdot \sin(x)+{\frac {A_{2}}{2}}\cdot \cos(2x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{2}}\cos(x)+2\sin(x)-{\frac {3}{4}}\cos(2x)$