Em Inferência estatística, o Método Delta é uma técnica utilizada para aproximar um vetor aleatório através de uma expansão de Taylor. é um método simples, mas útil, para deduzir a distribuição assintótica de variáveis.[1]
O Teorema do Limite Central pode ser considerado como um caso particular do Método Delta. Assim deve começar por familiarizar-se com este teorema.
O teorema do limite central afirma que a soma de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias identicamente distribuídas tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.
Verificadas certas condições, o Método Delta permite concluir que uma função (não apenas a soma) de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias também tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.
- Seja uma função contínua
definida num subconjunto de
chamado "D" e diferenciável no ponto
.
- Sejam Yn vetores aleatórios que assumem valores no domínio da função g, tal que
![{\displaystyle E\left[Y_{n}\right]=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b4a74c0f2a9719c29a916498b7eeb0c2fe4165)
- Seja Y um vetor aleatório (no caso particular de esse vetor aleatório ter dimensão 1X1, teremos uma variável aleatória, mas aqui vamos apresentar o enunciado geral).
- Lembre-se que
designa uma convergência em distribuição.
- Suponha que
quando
.
Então[1] ,
![{\displaystyle r_{n}\left[g\left(Y_{n}\right)-g\left(\mu \right)\right]{\xrightarrow {d}}g'\left(\mu \right)Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccf5b4b50119c4c7b6db61dbeb0af8de3e37c63)
Seja
uma sucessão de variáveis aleatórias tais que
.
onde
é a variância da distribuição Normal e
é o valor esperado de
. Estes valores têm de existir e serem finitos.
Considere também uma função "g" diferenciável em
.
- Método Delta de 1ª ordem: Considere o caso em que, para o valor especifico
,
.Então:
[2][3]
- Método delta de 2ª ordem: Considere agora o caso em que, para o valor especifico
,
mas que
. Então,
,[4] porque o quadrado de uma distribuição normal padrão é uma qui-quadrado
[3] .
- Método Delta de ordens superiores: Considere finalmente o caso em que a função g é "r" vezes derivável e que, para o valor especifico
,
mas que a r-ésima derivada
. Então,
[5]
Do Teorema do Limite Central sabemos que
.
Consideremos agora
, sabemos que
que para
IR\{0} é diferente de 0.
Então estamos nas condições do Método Delta e podemos afirmar que
.[6]
Nota:
Suponha
variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli (p). O parâmetro de interesse típico é
, a probabilidade de sucesso, mas outro parâmetro popular é
, que mede a chance. Por exemplo, se os dados representam os resultados de uma moeda viciada com p=2/3 para "cara", então a moeda tem chance 2:1 de mostrar o resultado "cara".
Vamos considerar a utilização de
como uma estimativa para
. Ou seja, vamos jogar a moeda "n" vezes, contar o número de caras e obter
a partir desta amostra de n observações, e utilizar este p estimado (
) como estimativa para o verdadeiro parâmetro p. Nosso interesse, agora, é saber a variância de
. O método delta permite obter uma resposta aproximada, já que uma resposta exata não é possível.
Vamos então definir a função
. Portanto,
.
Pelo método delta, teremos que:
[3]
Sabemos que
Sabemos também que
, existe e é finito.
O desenvolvimento em série de Taylor de
em torno de valor
é
onde
quando
usando o teorema de Slutsky
logo
![{\displaystyle {{\sqrt {n}}[g(Y_{n})-g(\mu )]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/688dfb94d8875d8f05686668b491a4618ef30026)
Referências
- ↑ a b VAN DER VAART, A. Asymptotic statistics. 1998. new York: Cambridge University Press. capítulo 3, Delta Method. Página 25 e 26.
- ↑ Pestana, D. e Velosa, S. (2002). Introdução à Probabilidade e Estatística. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
- ↑ a b c CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte-americana. São Paulo: Centage learning, 2010. Páginas 215 a 217
- ↑ PAPANICOLAOU, Alex.Taylor Approximation and the Delta Method. 2009. Página 5. Disponível em: <http://www.stanford.edu/class/cme308/notes/TaylorAppDeltaMethod.pdf>. Acesso em: 13 de julho de 2011.
- ↑
HUNTER, David R. Statistics 553:
Asymptotic Tools.Chapter 5- The Delta Method and Applications, Página 61.Disponível em <http://www.stat.psu.edu/~dhunter/asymp/lectures/ANGELchpt05.pdf>. Acesso em: 13 de julho de 2011.
- ↑ Alves, I.; Gomes, I. e Sousa, L. (2007). Fundamentos e Metodologias da Estatistica. Centro de Estatística e Aplicações, Lisboa.