Operador pseudodiferencial

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Um operador pseudo-diferencial é uma generalização do conceito de operador diferencial. É uma parte fundamental da teoria das equações diferenciais parciais. Os fundamentos da teoria foram desenvolvidos por Lars Hörmander.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes[editar | editar código-fonte]

Seja o operador diferencial linear com coeficientes constantes

operando sobre o espaço das funções infinitamente contínuas com suporte compacto em . Pode ser expresso como a composição de uma Transformada de Fourier, uma multiplicação com o polinômio

e a transformada de Fourier inversa

,

sendo

um índice múltiplo, um operador diferencial, sendo a derivada parcial em relação à j-ésima variável e são números complexos.

De forma análoga um operador pseudo-diferencial sobre é um operador da forma

,

com uma função generalizada no integrando, como a seguir discutido.

Dedução da fórmula (1)[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier de uma função infinitamente diferenciável , com suporte compacto em , é

e a transformada de Fourier inversa fornece

.

Aplicando sobre esta representação de e utilizando

resulta em (1).

Representação de soluções de equações diferenciais parciais[editar | editar código-fonte]

A fim de resolver uma equação diferencial

é aplicada nos dois lados uma transformada de Fourier, resultando uma equação algébrica

.

Caso o símbolo não seja nulo para , podemos dividir por

.

Aplicando a transformada inversa obtemos a solução

.

Na obten deste resultado as seguintes condições foram observadas:

  1. é um operador diferencial linear com coeficientes constantes,
  2. seu símbolo não é nulo,
  3. a transformada de Fourier de u e f é definida.

A última condição pode ser enfraquecida utilizando a Teoria das distribuições. As duas primeiras condições podem ser enfraquecidas como segue. Na última fórmula substitui-se a transformada de Fourier de f:

.

Isto é semelhante à formula (1), só que aqui não é um polinômio, e sim uma função generalizada.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Classe de símbolos[editar | editar código-fonte]

Se é uma função infinitamente diferenciável sobre com

para todo , todo multi-índice , uma constante e números reais m, então P pertence à classe de símbolos .

Operadores pseudo-diferenciais[editar | editar código-fonte]

Seja P uma função infinitamente diferenciável da classe de símbolos . Um operador pseudo-diferencial de ordem m é definido por

O conjunto dos operadores pseudo-diferenciais de ordem m é denotado por .

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981, ISBN 0-691-08282-0
  • ders. Partial differential equations, Bd. 1,2, Springer 1996, 1997, Bd.1 ISBN 0387946535, Bd.2 ISBN 0387946519
  • M. A. Shubin Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer 2001. ISBN 3-540-41195-X
  • Francois Treves Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, Plenum 1981. ISBN 0-306-40404-4
  • F. G. Friedlander, M. Joshi Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
  • José García-Cuerva Fourier Analysis and Partial Differential Equations, CRC Press 1995. ISBN 084937877X

Ligações externas[editar | editar código-fonte]