Paradoxo do quadrado perdido

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa


O enigma do quadrado perdido.
O enigma em animação.
Sobreposição dos dois pseudo-triângulos

O paradoxo do quadrado perdido é um enigma resultado de uma ilusão de óptica, em que são vistos dois triângulos, formados pelas mesmas peças, onde porém um triângulo aparenta ter um pequeno quadrado a menos do que o outro. A suposta hipotenusa de cada figura não é reta (apesar de parecer).

De acordo com Martin Gardner, esse enigma foi elaborado em 1953 pelo mágico amador Paul Curry, de Nova Iorque. O enigma do quadrado perdido é por isso também chamado de paradoxo de Curry (embora exista o paradoxo de Curry de teoria ingênua dos conjuntos). O princípio por trás desse tipo de paradoxo é conhecido desde pelo menos 1860.

Explicação[editar | editar código-fonte]

Descrição[editar | editar código-fonte]

Os dois triângulos formados por peças coloridas parecem ter a mesma área de .

As peças de cada triângulo formado por peças:

  • Um triângulo (aqui azul) com área de
  • Outro triângulo (aqui vermelho) com área de
  • Duas outras figuras (aqui, uma amarela e a outra verde), que juntas tem o tamanho de um retângulo

    área que é a soma de
    da figura amarela
    da figura verde

Embora ambos sejam visualmente triângulos de mesmo tamanho com sub-áreas idênticas, no segundo triângulo há um quadrado de área restando.

Solução[editar | editar código-fonte]

A soma das áreas das peças resulta em uma área de

No entanto, um triângulo com lados 13 e 5 deve ter uma área de .
Assim, está dada a prova matemática de que o dado triângulo não pode ser formado por essas peças.

O paradoxo se deve a diferença entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho (eles não são triângulos similares). Portanto, a hipotenusa não é uma reta. Matematicamente, isso pode ser provado da seguinte maneira:

  • Triângulo azul:
  • Triângulo vermelho:
  • Ângulo de um triângulo com catetos 13 e 5:

Disso percebe-se que o lado de cima não é uma linha reta. Portanto, a figura composta não é realmente um triângulo, mas sim um quadrilátero, percebe-se então que não são as mesmas peças, nem mesmo as linhas são iguais, os tamanhos são ligeiramente diferentes, e de pixel em pixel eles vão ganhando espaço pra poder por um espaço em branco depois

Seqüência de Fibonacci[editar | editar código-fonte]

Figuras enganosas como essa podem também ser formadas com outras proporções. As dimensões inteiras dos lados das figuras de cima: 2, 3, 5, 8 e 13; são cinco números consecutivos da sequência de Fibonacci. Muitas outras figuras, que apresentam o mesmo fenômeno, também são feitas com outros números consecutivos na sequência de Fibonacci.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Paradoxo do quadrado perdido