Princípio de Cavalieri

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Trecho do Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota[1] (Teorema I. Proposição I.).

O princípio de Cavalieri (a base do método dos indivisíveis) refere-se às seguintes duas proposições em geometria:[2][3][4]

"Dadas duas regiões planas incluídas entre um par de retas paralelas, se toda reta paralela ao par de retas e que intersecta as regiões o faz em segmentos cujos comprimentos estão sempre na mesma razão, então as áreas das regiões também estão nessa mesma razão."

E a proposição análoga para sólidos:

"Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão."

O Princípio de Cavalieri pode ser usado para se deduzir uma fórmula para o volume da esfera.

História[editar | editar código-fonte]

Apesar do princípio levar o nome de Cavalieri, ele já era conhecido dos gregos antigos, tendo sido utilizado por Arquimedes, que relatou que ele já tinha sido empregado ainda antes por Eudoxo e Demócrito quando calcularam o volume de um cone.[5]

Matemático italiano, Bonaventura Cavalieri, século XII, discípulo de Galilleu, foi considerado o autor do método capaz de achar áreas e volumes de sólidos com maior facilidade.
A principal ideia é que mesmo com o formato geométrico modificado ,a não ser quando perde ou ganha massa,o volume permanecerá o mesmo, essa é a principal ideia para o Princípio de Cavalieri.


Definição[editar | editar código-fonte]

Podendo ser utilizado de forma axiomática, este princípio pode ser compreendido supondo-se dois sólidos e em um plano horizontal e um plano paralelo a , que seria , de forma que ambos os planos cortem os sólidos em secções de mesma área para cada corte dado.Pelo princípio de Cavalieri é afirmado que o volume do sólido é igual ao volume do sólido .

Considerando que os sólidos e sejam fatiados com o igual número de fatias contando, todas, a mesma altura e secções de mesma área, assim terão, aproximadamente o mesmo volume. Quanto mais fina as fatias, maior será a aproximação.


Volume do Cilindro ( Princípio de Cavalieri)[editar | editar código-fonte]

Sólidos geométricos, os cilindros e os prismas em qualquer secção feita por um plano paralelo à base, será compreendida uma figura plana congruente a base.

Suponha-se um plano paralelo ao plano que contém bases de um cilindro e paralelepípedo.O corte feito por determina em ambos os sólidos figuras congruentes às suas bases, isto é com áreas iguais.

: Corte feito pelo plano no paralelepípedo;

: Base do paralelepípedo no plano ;

:Corte feito pelo plano no cilindro;

: Base do cilindro no plano .

Sabendo que (área do paralelepípedo) = ( área do cilindro),temos que = e =. Sabendo que a base do paralelepípedo possui base igual ao do cilindro, denominada de .

Como ==, com o uso do Princípio de Cavalieri, temos que:


( Volume do paralelepípedo)= (área da base)(altura)=(volume do cilindro)

Portanto:

=

O mesmo é aplicado ao prisma:

(volume do prisma)=

Volume da Esfera (Princípio de Cavalieri)[editar | editar código-fonte]

Consideremos uma esfera de centro e raio , delimitada pelos planos e , paralelos entre si e tangentes à esfera.

Consideremos ainda o plano entre os planos e , paralelo a ambos. A intersecção entre o plano e a esfera produzirá uma secção transversal, no formato de um círculo, de centro e raio .

Denotemos por a distância entre o centro da esfera, e centro da secção transversal, .

Construamos o ponto , na intersecção da secção transversal com o plano . Ao traçarmos um segmento com extremos em e A, a medida desse segmento será igual a R. Teremos, então, o triângulo de vértices , retângulo em , com hipotenusa medindo e catetos medindo respectivamente e .

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos que podemos reescrever como .

Por outro lado, a área da seção será dada por . Substituindo o valor de encontrado acima, temos .

O Princípio de Cavalieri garante que se fatiarmos um sólido geométrico em várias posições transversais e deslocá-las ou reordená-las, ainda assim, o volume total dessas fatias seria igual ao volume desse sólido.

Consideremos então o sólido geométrico, formado por dois cones, unidos pelos vértices, denominado clepsidra, também conhecida como ampulheta, com o raio de suas bases igual a . Sendo essa clepsidra delimitada pelos planos e , a altura de cada cone será igual ao raio da esfera, ou seja, .

Note que a clepsidra será intersectada pelo plano , e a secção transversal será um círculo de raio . A área da secção da pode ser obtida por .

Como a altura do cone e o raio de sua base são iguais a , na clepsidra, podemos utilizar a semelhança de triângulos, para deduzir que está para , assim como  está par a, ou seja,

.

Daí temos que .

Entretanto, o Princípio de Cavaliere só pode ser aplicado a secções transversais que apresentem a mesma área, o que não é o caso.

Construindo, entretanto, um cilindro de altura e base de raio em torno da clepsidra, podemos utilizar a anti-clepsidra, que trata-se do que resta do cilindro ao retirarmos a clepsidra de seu interior.

Observe que a seção transversal produzida pela interseção do plano com o cilindro terá seu raio medindo .

Então a área da secção transversal da anti-clepsidra, que denotaremos por poderá ser obtida pela área do da secção transversal do cilindro, subtraindo-se a secção transversal da clepsidra.

Logo, temos . Colocando em evidência, temos que .

Observe que temos , isto é, as áreas das secções transversais da anti-clepsidra e da esfera tem medidas iguais, então podemos utilizar o Princípio de Cavalieri, para encontrar o volume da esfera.

O volume da esfera será igual ao volume da anti-clepsidra, conforme nos garante Cavalieri, e o volume da anti-clepsidra pode ser obtido a partir dos volumes de dois sólidos cujas fórmulas são conhecidas: o cilindro e o cone.

O Volume do cilindro em questão e dado por e o volume de cada cone dado por .

Assim, o volume da anti-clepsidra, ou seja, o volume da esfera, pode ser obtido, pelo volume do cilindro, subtraindo-se o volume da clepsidra (2 vezes o volume do cone).

Então, temos

.

Portanto, utilizando o Princípio de Cavalieri, conseguimos deduzir que o volume da esfera é dado por , como pretendíamos.

Geogebra e o princípio de Cavalieri[editar | editar código-fonte]

Na plataforma do Geogebra.org é possível obter diversos materiais para simulação do princípio de Cavalieri, além das diversas atividades disponíveis para consultas e estudos.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. The Garden of Archimedes: A Museum for Mathematics – Squaring methods from antiquity to the Seventeenth Century.
  2. N. Bourbaki. Elements of the History of Mathematics. [S.l.]: Springer Science & Business Media. 179 páginas. ISBN 978-3-540-64767-6 
  3. John Lane Bell. The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy. [S.l.]: Polimetrica s.a.s. 69 páginas. ISBN 978-88-7699-015-1 
  4. Margaret E. Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus. [S.l.]: Courier Dover Publications. 126 páginas. ISBN 978-0-486-49544-6 
  5. Tom Apostol (31 de janeiro de 2013). New Horizons in Geometry. [S.l.]: MAA. 139 páginas. ISBN 978-0-88385-354-2 

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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