Princípio de Cavalieri

Trecho do Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Teorema I. Proposição I.).

O princípio de Cavalieri (a base do método dos indivisíveis) refere-se às seguintes duas proposições em geometria:

"Dadas duas regiões planas incluídas entre um par de retas paralelas, se toda reta paralela ao par de retas e que intersecta as regiões o faz em segmentos cujos comprimentos estão sempre na mesma razão, então as áreas das regiões também estão nessa mesma razão."

E a proposição análoga para sólidos:

"Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão."

O Princípio de Cavalieri pode ser usado para se deduzir uma fórmula para o volume da esfera.

História

Apesar do princípio levar o nome de Cavalieri, ele já era conhecido dos gregos antigos, tendo sido utilizado por Arquimedes, que relatou que ele já tinha sido empregado ainda antes por Eudoxo e Demócrito quando calcularam o volume de um cone.

Matemático italiano, Bonaventura Cavalieri, século XVI, discípulo de Galilleu, foi considerado o autor do método capaz de achar áreas e volumes de sólidos com maior facilidade.
A principal ideia é que mesmo com o formato geométrico modificado ,a não ser quando perde ou ganha massa,o volume permanecerá o mesmo, essa é a principal ideia para o Princípio de Cavalieri.

Definição

Podendo ser utilizado de forma axiomática, este princípio pode ser compreendido supondo-se dois sólidos $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$ em um plano horizontal $\alpha$e um plano paralelo a $\alpha$, que seria , $\alpha '$ de forma que ambos os planos cortem os sólidos em secções de mesma área para cada corte dado.Pelo princípio de Cavalieri é afirmado que o volume do sólido $\mathrm {A}$ é igual ao volume do sólido $\mathrm {B}$.

Considerando que os sólidos $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$ sejam fatiados com o igual número de fatias contando, todas, a mesma altura e secções de mesma área, assim terão, aproximadamente o mesmo volume. Quanto mais fina as fatias, maior será a aproximação.

Volume do Cilindro ( Princípio de Cavalieri)

Sólidos geométricos, os cilindros e os prismas em qualquer secção feita por um plano paralelo à base, será compreendida uma figura plana congruente a base.

Suponha-se um plano $\alpha '$ paralelo ao plano $\alpha$ que contém bases de um cilindro e paralelepípedo.O corte feito por $\alpha '$ determina em ambos os sólidos figuras congruentes às suas bases, isto é com áreas iguais.

$A_{1}$: Corte feito pelo plano $\alpha '$ no paralelepípedo;

$\mathrm {A}$: Base do paralelepípedo no plano $\alpha$;

$A_{2}$:Corte feito pelo plano $\alpha '$ no cilindro;

$\mathrm {A}$: Base do cilindro no plano $\alpha$.

Sabendo que $A_{p}$(área do paralelepípedo) = $A_{c}$( área do cilindro),temos que $A_{1}$= $\mathrm {A}$ e $A_{2}$=$\mathrm {A}$. Sabendo que a base do paralelepípedo possui base igual ao do cilindro, denominada de $\mathrm {A}$.

Como $A_{1}$=$\mathrm {A}$=$A_{2}$, com o uso do Princípio de Cavalieri, temos que:

$V_{p}$( Volume do paralelepípedo)= $A_{B}$(área da base)$\times$$\mathrm {h}$(altura)=$V_{c}$(volume do cilindro)

Portanto:

$V_{c}$= $A_{B}$$\times$$\mathrm {h}$

O mesmo é aplicado ao prisma:

$V_{p}$(volume do prisma)=$A_{B}$$\times$$\mathrm {h}$

Volume da Esfera (Princípio de Cavalieri)

Consideremos uma esfera $E$ de centro $C_{1}$ e raio $R$, delimitada pelos planos $\alpha$e $\beta$ , paralelos entre si e tangentes à esfera.

Consideremos ainda o plano $\gamma$ entre os planos $\alpha$e $\beta$, paralelo a ambos. A intersecção entre o plano $\gamma$ e a esfera produzirá uma secção transversal, no formato de um círculo, de centro $C_{2}$ e raio $r_{1}$.

Denotemos por $d$ a distância entre o centro da esfera, $C_{1}$ e centro da secção transversal, $C_{2}$.

Construamos o ponto $A$, na intersecção da secção transversal com o plano $\gamma$. Ao traçarmos um segmento com extremos em $C_{1}$ e A, a medida desse segmento será igual a R. Teremos, então, o triângulo de vértices $C_{1}C_{2}A$, retângulo em $C_{2}$, com hipotenusa medindo $R$ e catetos medindo respectivamente $d$ e $r_{1}$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos $R^{2}={r_{1}}^{2}+d^{2}$que podemos reescrever como ${r_{1}}^{2}=R^{2}-d^{2}$.

Por outro lado, a área da seção será dada por ${A_{S}}_{1}=\pi {r_{1}}^{2}$. Substituindo o valor de ${r_{1}}^{2}$encontrado acima, temos ${A_{S}}_{1}=\pi (R^{2}-d^{2})$.

O Princípio de Cavalieri garante que se fatiarmos um sólido geométrico em várias posições transversais e deslocá-las ou reordená-las, ainda assim, o volume total dessas fatias seria igual ao volume desse sólido.

Consideremos então o sólido geométrico, formado por dois cones, unidos pelos vértices, denominado clepsidra, também conhecida como ampulheta, com o raio de suas bases igual a $R$. Sendo essa clepsidra delimitada pelos planos $\alpha$e $\beta$, a altura de cada cone será igual ao raio da esfera, ou seja, $R$.

Note que a clepsidra será intersectada pelo plano $\gamma$, e a secção transversal será um círculo de raio $r_{2}\neq r_{1}$. A área da secção da pode ser obtida por ${A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}$.

Como a altura do cone e o raio de sua base são iguais a $R$, na clepsidra, podemos utilizar a semelhança de triângulos, para deduzir que $R$está para $d$ , assim como $R$ está par a$r_{2}$, ou seja,

${\frac {R}{d}}={\frac {R}{r_{2}}}\Rightarrow R.r_{2}=R.d\Rightarrow r_{2}=d$.

Daí temos que ${A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}\Rightarrow {A_{S}}_{2}=d^{2}$.

Entretanto, o Princípio de Cavaliere só pode ser aplicado a secções transversais que apresentem a mesma área, o que não é o caso.

Construindo, entretanto, um cilindro de altura $2R$e base de raio $R$em torno da clepsidra, podemos utilizar a anti-clepsidra, que trata-se do que resta do cilindro ao retirarmos a clepsidra de seu interior.

Observe que a seção transversal produzida pela interseção do plano $\gamma$ com o cilindro terá seu raio medindo $R$.

Então a área da secção transversal da anti-clepsidra, que denotaremos por ${A_{S}}_{3}$poderá ser obtida pela área do da secção transversal do cilindro, subtraindo-se a secção transversal da clepsidra.

Logo, temos ${A_{S}}_{3}=\pi {R}^{2}-\pi {d}^{2}$. Colocando $\pi$em evidência, temos que ${A_{S}}_{3}=\pi ({R}^{2}-{d}^{2})$.

Observe que temos ${A_{S}}_{3}={A_{S}}_{1}$, isto é, as áreas das secções transversais da anti-clepsidra e da esfera tem medidas iguais, então podemos utilizar o Princípio de Cavalieri, para encontrar o volume da esfera.

O volume da esfera será igual ao volume da anti-clepsidra, conforme nos garante Cavalieri, e o volume da anti-clepsidra pode ser obtido a partir dos volumes de dois sólidos cujas fórmulas são conhecidas: o cilindro e o cone.

O Volume do cilindro em questão e dado por $V_{cilindro}=\pi .R^{2}.2R=2\pi .R^{3}$e o volume de cada cone dado por $V_{cone}={\frac {\pi .R^{2}.R}{3}}={\frac {\pi .R^{3}}{3}}$.

Assim, o volume da anti-clepsidra, ou seja, o volume da esfera, pode ser obtido, pelo volume do cilindro, subtraindo-se o volume da clepsidra (2 vezes o volume do cone).

Então, temos

$V_{esfera}=V_{anti-clepsidra}=V_{cilindro}-2.V_{cone}$

$\Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-2({\frac {\pi .R^{3}}{3}})\Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-{\frac {2\pi .R^{3}}{3}}$

$\Rightarrow V_{esfera}={\frac {6\pi .R^{3}-2\pi .R^{3}}{3}}$

$\Rightarrow V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}$.

Portanto, utilizando o Princípio de Cavalieri, conseguimos deduzir que o volume da esfera é dado por $V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}$, como pretendíamos.

Geogebra e o princípio de Cavalieri

Na plataforma do Geogebra.org é possível obter diversos materiais para simulação do princípio de Cavalieri, além das diversas atividades disponíveis para consultas e estudos.

Leitura adicional

• Andersen, Kirsti. "Cavalieri's Method of Indivisibles", Archive for History of Exact Sciences, 31 (1985), pp. 291–367.
• Lam, Lay-Yong; Shen, Kangsheng. "The Chinese concept of Cavalieri's principle and its applications", Historia Mathematica, 12 (1985), N. 3, pp. 219–228.
• Malet, Antoni (1996). From Indivisibles to Infinitesimals: Studies on Seventeenth-Century Mathematizations of Infinitely Small Quantities. [S.l.]: Universitat Autònoma de Barcelona. ISBN 978-84-490-0520-6 

Ver também

• Matemática grega