Problemas de Landau

Os Problemas de Landau são quatro conhecidos problemas sobre os números primos, que Edmund Landau catalogou como "inatacáveis no estado atual da ciência" durante o Congresso Internacional de Matemáticos de 1912.

Os quatro problemas são os seguintes:

A conjectura de Goldbach: Todo número par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos ?
A conjectura dos números primos gêmeos: Há infinitos números primos p tais que (p+2) também é um número primo ?
A conjectura de Legendre: Sempre existe um número primo entre dois quadrados perfeitos ?
A conjectura de que há infinitos números primos p tais que (p-1) é um quadrado perfeito. Dizendo de outra forma, há infinitos números primos da forma $n^{2}+1$ ?

Progresso[editar | editar código-fonte]

Conjectura de Goldbach[editar | editar código-fonte]

O Teorema de Vinográdov demostra a conjectura fraca de Goldbach para os n suficientemente grandes. Deshouillers,Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjetura fraca de forma condicionada à hipótese generalizada de Riemann.^[1]Sabe se que a conjetura fraca se cumpre para todo n fora do intervalo $(10^{20},e^{3100})$ ^[1]^[2]

O teorema de Chen demostra que para todos os n suficientemente grandes, $2n=p+q$ onde p é primo e q é primo ou semiprimo. Montgomery e Vaughan demostraram que o conjunto excepcional dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem densidade zero.^[3]

Conjectura dos primos gêmeos[editar | editar código-fonte]

Goldston, Pintz e Yıldırım demostraram que a diferença entre dois números primos consecutivos pode ser muito menor que a diferença média entre dois primos consecutivos:

\liminf {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .

^[4]

Anteriormente, demostraram condicionalmente,sobreconjetura de Elliott-Halberstam, uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos p tais que $\pi (p+20)-\pi (p)\geq 1$ . Onde $\pi (x)$ é a função de contagem de números primos. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2.^[5]

Chen demonstrou que existem infinitos primos p ( que posteriormente ficaram conhecidos como primos de Chen ) tais que p + 2 é primo ou semiprimo.

Conjectura de Legendre[editar | editar código-fonte]

É suficiente mostrar que cada número primo p, a diferença com o próximo primo é menor que $2{\sqrt {p}}$ . Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 10¹⁸.^[6] Um contra exemplo próximo a 10¹⁸ requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de.

Um resultado de Ingham mostra que existe um número primo entre $n^{3}$ e $(n+1)^{3}$ para cada n suficientemente grande..^[7]

Primos da forma n^2+1 ( $n^{2}+1$ )[editar | editar código-fonte]

O teorema de Friedlander-Iwaniec mostra que há infinitos números primos da forma $x^{2}+y^{4}$ . Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma $n^{2}+1$ com no máximo dois fatores primos.^[8]

Referências

↑ ^a ^b Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3, pp. 99-104 (1997).
↑ Liu, M. C.; Wang, T. Z. (2002). «On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture». Acta Arithmetica. 105: 133–175. doi:10.4064/aa105-2-3
↑ Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). «The exceptional set in Goldbach's problem» (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370
↑ Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Primes in tuples. II. Preprint.
↑ Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.
↑ Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps
↑ Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics Oxford. 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255
↑ Iwaniec, H. (1978). «Almost-primes represented by quadratic polynomials». Inventiones Mathematicae. 47 (2): 178–188. doi:10.1007/BF01578070

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Weisstein, Eric W. "Landau's Problems." MathWorld (em inglês)

[DETZ97-1] Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3, pp. 99-104 (1997).

[2] Liu, M. C.; Wang, T. Z. (2002). «On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture». Acta Arithmetica. 105: 133–175. doi:10.4064/aa105-2-3

[3] Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). «The exceptional set in Goldbach's problem» (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370

[4] Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Primes in tuples. II. Preprint.

[5] Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.

[6] Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps

[7] Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics Oxford. 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255

[8] Iwaniec, H. (1978). «Almost-primes represented by quadratic polynomials». Inventiones Mathematicae. 47 (2): 178–188. doi:10.1007/BF01578070

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