Soma da série de Grandi

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Ver artigo principal: Série de Grandi

Considerações gerais[editar | editar código-fonte]

Estabilidade e linearidade[editar | editar código-fonte]

As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de 12 inclui:

  • Adição ou subtração de duas séries termo-a-termo,
  • Multiplicação através de um termo-a-termo escalar,
  • "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e
  • Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série.

Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma série convergente.

Todavia, há muitos métodos de soma que respeitam essas manipulações e que atribuem uma "suma" à série de Grandi. Dois destes métodos mais simples são: soma de Cesàro e soma de Abel.[1]

Separação de escalas[editar | editar código-fonte]

Dado qualquer função φ(x) tal que φ(0) = 1, o limite de φ a +∞ é 0, e a derivada de φ é integral sobre (0, +∞), então a generalizada φ-soma da série de Grandi existe e é igual a 12:

A soma de Cesàro ou Abel é recuperada por deixar de φ ser uma função triangular ou exponencial, respectivamente. Se φ é assumido adicionalmente ser continuamente diferenciável, então a reivindicação pode ser provada aplicando o teorema do valor médio e convertendo a soma em em integral. Rapidamente:

[2]

Notas e referências

  1. Davis pp.152, 153, 157
  2. Saichev pp.260-262

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Bromwich, T.J. (1926) [1908]. An Introduction to the Theory of Infinite Series 2e ed.  
  • Davis, Harry F. (1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9 
  • Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press 
  • Kline, Morris (1983). «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine. 56 (5): 307-314 
  • Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1, 
  • Smail, Lloyd (1925). History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press 
  • Weidlich, John E. (1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses 
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