Teorema de Birkhoff (relatividade)

Em relatividade geral, o teorema de Birkhoff estabelece que qualquer solução esfericamente simétrica das equações de campo do vácuo deve ser estática e assintoticamente plana. Isto significa que a solução exterior deve ser dada pela métrica de Schwarzschild.

O teorema foi provado em 1923 por George David Birkhoff (também autor de um outro teorema de Birkhoff mais conhecido, o teorema pointwise ergodic o qual lança a fundação da teoria ergódica). Entretanto, Stanley Deser recentemente alertou que ele foi publicado dois anos antes por um físico norueguês pouco conhecido, Jørg Tofte Jebsen.

Raciocínio intuitivo

A ideia intuitiva do teorema de Birkhoff é que a simetria esférica de um campo gravitacional deve ser produzida por algum objeto massivo na sua origem; se há outra concentração de massa-energia em algum lugar além, esta deve perturbar a simetria esférica, então nós podemos esperar a solução representar um objeto isolado. Isto é, o campo desapareceria em grandes distâncias, o que é (parcialmente) o que nós pretendemos ao afirmar que a solução é assintoticamente plana. Estão, esta parte do teorema é só o que nós esperamos do fato que a relatividade geral reduz-se a gravitação newtoniana no limite newtoniano.

Implicações

A conclusão que o campo exterior deve também ser estacionário é mais surpreendente e tem uma interessante consequência. Suponha-se que nós tenhamos uma estrela esfericamente simétrica de massa fixa a qual está experimentando pulsações esféricas. Então o teorema de Birkhoff diz que a geometria exterior deve ser a de Schwarzschild; o único efeito da pulsação é a mudança da localização da superfície estelar. Isto significa que uma estrela pulsante esfericamente não pode emitir ondas gravitacionais.

Outra interessante consequência do teorema de Birkhoff é que para uma casca fina, a solução interior deve ser dada pela métrica de Minkowski; em outras palavras, o campo gravitacional deve desaparecer dentros de uma casca esfericamente simétrica. Isto concorda com o o que acontece na gravitação newtoniana.

Generalizações

O teorema de Birkhoff pode ser generalizado: qualquer solução esfericamente simétrica das equações de campo de Einstein-Maxwell deve ser estacionária e assintoticamente plana, assim a geometria exterior de uma estrela carregada esfericamente simétrica deve ser dada pela métrica de Reissner-Nordström.

Referências

• Deser, S and Franklin, J: Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl
• Johansen, Nils Voje; and Ravndal, Finn On the discovery of Birkhoff's theorem version of September 6, 2005.
• D'Inverno, Ray (1992). Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-859686-3 

See section 14.6 for a proof of the Birkhoff theorem, and see section 18.1 for the generalized Birkhoff theorem.

• Birkhoff, G. D. (1923). Relativity and Modern Physics. Cambrigdge, MA: Harvard University Press. LCCN 23008297 
• Jebsen, J. T. (1921). Ark. Mat. Ast. Fys. 15 

Ligações externas

• «Birkhoff's Theorem» (em inglês). em ScienceWorld 
• «Demonstração do Teorema de Birkhoff»