Teorema de Kutta Joukowski

O Teorema de Kutta-Joukowski é um teorema fundamental da aerodinâmica. O nome provém do cientista alemão Martin Wilhelm Kutta e do cientista russo Nikolai Joukowski (ou Zhukovsky), pioneiros no desenvolvimento das suas ideias-chave no início dos anos 1920.

O teorema diz que a sustentação gerada por um cilindro é proporcional à velocidade do cilindro através do fluido, da densidade do fluido, da circulação. A circulação é definida como a integral de linha, em torno de um ciclo fechado envolvendo o cilindro ou aerofólio, da componente da velocidade tangente do fluidos para o loop. A magnitude e direção da velocidade do fluido varia ao longo do caminho.

O fluxo de ar em resposta à presença do aerofólio pode ser tratado como a superposição de um fluxo de translação e um fluxo de rotação. É, porém, errado pensar que existe um vórtice cercando o cilindro ou a asa de um avião em vôo. É o caminho da integral que circunda o cilindro, não um vórtice de ar. (Em descrições do teorema de Kutta-Joukowski o aerofólio é geralmente considerado como um cilindro circular ou algum aerofólio Joukowski).

O teorema refere-se ao fluxo de duas dimensões em torno de um cilindro (ou um cilindro de envergadura infinita) e determina a sustentação gerada por uma unidade de comprimento. Quando a circulação $\Gamma _{\infty }\,$ é conhecida, a sustentação $L\,$ por unidade de comprimento do cilíndro (Newtons/metro no SI) pode ser calculada de acordo com a seguinte equação:

$L=\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma _{\infty },\,$   (1)

onde $\rho _{\infty }\,$ e $V_{\infty }\,$ são a densidade do fluido e a velocidade a montante do cilíndro, e $\Gamma _{\infty }\,$ é a circulação definida como a integral de linha,

$\Gamma _{\infty }=\oint _{C_{\infty }}V\cos \theta \;ds\,$

em torno de um caminho $C_{\infty }\,$(no plano complexo) longe e circundando o cilindro ou aerofólio. Esse caminho deve ser em uma região do escoamento potencial e não na camada limite do cilindro. O termo $V\cos \theta \,$ é a componente local da velocidade tangente e na direção da curva $C_{\infty }\,$ que circunda o cilindro, e $ds\,$ é o comprimento infinetesimal dessa curva. A equação (1) é a forma do teorema de Kutta-Joukowski.

Kuethe e Schetzer colocaram o teorema de Kutta-Joukowski da seguinte maneira:

"A força por unidade de comprimento que age em um cilindro de qualquer seção transversal é igual a $\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma _{\infty }$, e é perpendicular à direção de $V_{\infty }.$".

Para um argumento bastante heurístico, considere um aerofólio de pequena espessura de corda $c$ e envergadura infinita, movendo-se através do ar de densidade ρ. Suponha o aerofólio inclinado para o fluxo que chega para produzir uma velocidade V de um lado do aerofólio, e uma velocidade V + v no outro lado. A circulação então pode ser calculada como:

$\Gamma =(V+v)c-(V)c=vc.\,$

A diferença de pressão $\Delta P$ entre os lados do aerofólio pode ser calculada de acordo com a equação de Bernoulli:

${\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,$

${\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,$

$\Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignorando }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,$

então a força de sustentação por unidade de comprimento pode ser calculada:

$L=c\Delta P=\rho Vvc=\rho V\Gamma .\,$

Notas

• Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)

• Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5

• A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)

• Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406

• Houghton, E. L. Aerodynamics for Engineering Students, p 168

Referências

• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press