Teorema de Poynting

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Em Eletrodinâmica e Eletromagnetismoo teorema de Poynting expressa a lei da conservação da energia para o campo eletromagnético, sob a forma de uma equação diferencial parcial, estabelecida pelo físico britânico John Henry Poynting[1] .

O teorema de Poynting é análogo ao teorema de trabalho e energia da mecânica clássica, e matematicamente semelhante à equação da continuidade, pois relaciona a energia armazenada no campo eletromagnético ao trabalho feito sobre uma distribuição de carga pelo campo elétrico, através do fluxo de energia por unidade de tempo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Geral[editar | editar código-fonte]

Em palavras, o teorema é um balanço de energia[2] :

taxa de transferência de energia (por unidade de volume) a partir de uma região de espaço é igual à taxa de trabalho realizado(por unidade de tempo) sobre uma distribuição de carga, mais o fluxo de energia deixando essa região.

Relaciona a derivada temporal da densidade de energia eletromagnética com o fluxo de energia e a taxa em que o campo elétrico realiza um trabalho sobre uma distribuição de cargas.

Na forma diferencial, pode ser expressada pela fórmula:

                                              -\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\vec{S}+\vec{J}\cdot\vec{E}

\nabla\cdot\vec{S} é a divergência do vetor de Poynting (fluxo de energia saindo da região), \vec{J}\cdot\vec{E} o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma distribuição de cargas (J é a Densidade de corrente livre devido ao movimento das cargas), e u é a energia armazenada no campo eletromagnético, dada pela formula:

                              u = \frac{1}{2}\left(\vec{E}\cdot\vec{D} + \vec{B}\cdot\vec{H}\right) = \frac{1}{2}[\int_V\epsilon_0E^2dV+\int_V\mu_0H^2dV]

em que D é o deslocamento elétrico, S é o vetor de PoyntingB representa a densidade de fluxo magnético e H a intensidade de campo magnético.

A partir do teorema da divergência, o teorema de Poynting pode ser reescrito na forma integral:

                        \frac{\partial }{\partial t} \int_V\frac{1}{2}\epsilon_0E^2dV+\frac{\partial}{\partial t}\int_V\frac{1}{2}\mu_0H^2dV = -\oint_A (\vec{E} \times \vec{H})\cdot \vec{dA} -\int_V \vec{J}\cdot \vec{E}dV

onde \vec{E} \times \vec{H}.é o vetor de Poynting instantâneo, \mu_0 e \epsilon_0 são as constantes de permeabilidades magnética e elétrica do vácuo respectivamente.

Engenharia Elétrica[editar | editar código-fonte]

Do ponto de vista da engenharia elétrica, o teorema geralmente é escrito com o termo densidade de energia eletromagnética u ampliado, de forma que se assemelha à equação da continuidade:

                                     \nabla\cdot\vec{S} + 
 \epsilon_0 \vec{E}\cdot\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{\vec{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} +
 \vec{J}\cdot\vec{E} = 0

Onde:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Usando o teorema na forma integral, é simples demonstrar a validade do mesmo em um fio circulando uma corrente contínua[3] .

Considere uma corrente I contínua em um comprimento L de um fio de raio a. Agora, considerando que os campos elétrico e magnético não variam com o tempo, a taxa de variação da energia armazenada nos mesmos é igual a zero, portanto:

(a) Uma corrente contínua, fluindo na direção +z em um fio de raio a. (b) Seção transversal do fio mostrando a orientação dos campos e o vetor de Poynting instantâneo na superfície do fio.

\oint_A (\vec{E} \times \vec{H})\cdot \vec{dA} =-\int_V \vec{J}\cdot \vec{E}dV

A corrente é assumida como estando uniformemente distribuída, de modo que a densidade de corrente seja:

\vec{J}=\frac{I}{\pi a^2}\hat z

sendo \hat z o vetor unitário apontando na direção +z.

Pela lei de Ohm, o campo elétrico é

\vec{E}=\frac{\vec{J}}{\sigma}=\frac{I}{\pi a^2 \sigma}\hat z

sendo \sigma a condutividade elétrica do fio.

No membro direito do teorema, usando coordenadas cilíndricas, temos:

-\int_V \vec{J}\cdot \vec{E}dV = -\frac{I^2}{\sigma(\pi a^2)^2}\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^L rdzdrd\theta = -I^2\frac{L}{\sigma \pi a^2} = -I^2R

No membro da esquerda, precisamos de H. Aplicando a lei de Ampère, podemos determinar H na superfície do fio como sendo

\vec{H}=\frac{I}{2\pi a}\hat \theta

sendo \hat \theta o vetor unitário na direção tangente ao fio.

O vetor de poynting instantâneo é:

\vec{P}= \vec{E} \times \vec{H} = \frac{I}{\sigma\pi a^2}\hat z \times \frac{I}{2\pi a}\hat \theta

\vec{P}=\frac{I^2}{2\pi^2 a^3\sigma}\hat r

sendo \hat r o vetor unitário na direção radial do fio.

O vetor \vec{P} está direcionado radialmente para o interior do fio. Integrando sobre a superfície, temos:

\oint_A (\vec{E} \times \vec{H})\cdot \vec{dA}= \oint_A\vec{P}\cdot\vec{dA}=-\frac{I^2a}{2\pi^2\sigma a^3}\int_0^{2\pi}\int_0^L dzd\theta=-I^2\frac{L}{\sigma\pi a^2}=-I^2R

Esta parte do teorema diz que -I^2R é a potência fluindo para fora do fio.

Aplicando esses valores no teorema, temos

\oint_A (\vec{E} \times \vec{H})\cdot \vec{dA} =-\int_V \vec{J}\cdot \vec{E}dV

-I^2R=-I^2R

Logo, se não há uma variação na energia armazenada no campo eletromagnético que flui nessa região, a potência que flui para fora dessa região do fio é dissipada na forma de trabalho sobre as cargas por efeito joule.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Poynting, J. H. (1884). «On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field». Philosophical Transactions of the Royal Society of London [S.l.: s.n.] 175: 343–361. doi:10.1098/rstl.1884.0016. 
  2. Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, ISBN 81-7758-293-3
  3. Applied Electromagnetics: Early Transmission Lines Approach, Stuart M.Wentworth, John Wiley & Sons, Techbooks 2007, p.358-360, ISBN 85-7780-426-7