Teorema de Poynting

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Em Eletrodinâmica e Eletromagnetismoo teorema de Poynting expressa a lei da conservação da energia para o campo eletromagnético, sob a forma de uma equação diferencial parcial, estabelecida pelo físico britânico John Henry Poynting[1].

O teorema de Poynting é análogo ao teorema de trabalho e energia da mecânica clássica, e matematicamente semelhante à equação da continuidade, pois relaciona a energia armazenada no campo eletromagnético ao trabalho feito sobre uma distribuição de carga pelo campo elétrico, através do fluxo de energia por unidade de tempo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Geral[editar | editar código-fonte]

Em palavras, o teorema é um balanço de energia[2]:

taxa de transferência de energia (por unidade de volume) a partir de uma região de espaço é igual à taxa de trabalho realizado(por unidade de tempo) sobre uma distribuição de carga, mais o fluxo de energia deixando essa região.

Relaciona a derivada temporal da densidade de energia eletromagnética com o fluxo de energia e a taxa em que o campo elétrico realiza um trabalho sobre uma distribuição de cargas.

Na forma diferencial, pode ser expressada pela fórmula:

                                              

é a divergência do vetor de Poynting (fluxo de energia saindo da região), o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma distribuição de cargas (J é a Densidade de corrente livre devido ao movimento das cargas), e u é a energia armazenada no campo eletromagnético, dada pela formula:

                              

em que D é o deslocamento elétrico, S é o vetor de PoyntingB representa a densidade de fluxo magnético e H a intensidade de campo magnético.

A partir do teorema da divergência, o teorema de Poynting pode ser reescrito na forma integral:

                        

onde .é o vetor de Poynting instantâneo, e são as constantes de permeabilidades magnética e elétrica do vácuo respectivamente.

Engenharia Elétrica[editar | editar código-fonte]

Do ponto de vista da engenharia elétrica, o teorema geralmente é escrito com o termo densidade de energia eletromagnética ampliado, de forma que se assemelha à equação da continuidade:

                                     

Onde:

  •  é a permissividade elétrica do vácuo;
  •  é a permeabilidade magnética do vácuo;
  • é a potência reativa acumulada no campo elétrico;
  • é a potência reativa acumulada no campo magnético;
  • representa a densidade de energia elétrica dissipada pela força de Lorentz agindo sobre distribuições de carga.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Usando o teorema na forma integral, é simples demonstrar a validade do mesmo em um fio circulando uma corrente contínua[3].

Considere uma corrente contínua em um comprimento de um fio de raio . Agora, considerando que os campos elétrico e magnético não variam com o tempo, a taxa de variação da energia armazenada nos mesmos é igual a zero, portanto:

(a) Uma corrente contínua, fluindo na direção +z em um fio de raio a. (b) Seção transversal do fio mostrando a orientação dos campos e o vetor de Poynting instantâneo na superfície do fio.

A corrente é assumida como estando uniformemente distribuída, de modo que a densidade de corrente seja:

sendo o vetor unitário apontando na direção +z.

Pela lei de Ohm, o campo elétrico é

sendo a condutividade elétrica do fio.

No membro direito do teorema, usando coordenadas cilíndricas, temos:

No membro da esquerda, precisamos de H. Aplicando a lei de Ampère, podemos determinar H na superfície do fio como sendo

sendo o vetor unitário na direção tangente ao fio.

O vetor de poynting instantâneo é:

sendo o vetor unitário na direção radial do fio.

O vetor está direcionado radialmente para o interior do fio. Integrando sobre a superfície, temos:

Esta parte do teorema diz que é a potência fluindo para fora do fio.

Aplicando esses valores no teorema, temos

Logo, se não há uma variação na energia armazenada no campo eletromagnético que flui nessa região, a potência que flui para fora dessa região do fio é dissipada na forma de trabalho sobre as cargas por efeito joule.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Poynting, J. H. (1884). «On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field». Philosophical Transactions of the Royal Society of London [S.l.: s.n.] 175: 343–361. doi:10.1098/rstl.1884.0016. 
  2. Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, ISBN 81-7758-293-3
  3. Applied Electromagnetics: Early Transmission Lines Approach, Stuart M.Wentworth, John Wiley & Sons, Techbooks 2007, p.358-360, ISBN 85-7780-426-7