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Trigonometria esférica

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Triângulo esférico tri-retângulo (seus ângulos somam 270°).

Em matemática, a trigonometria esférica estuda as propriedades geométricas dos triângulos esféricos, em especial as relações que envolvem ângulos esféricos e arcos esféricos. É a área da geometria esférica que estuda os polígonos que se formam sobre a superfície das esferas, em especial, os triângulos. O estudo de trigonometria esférica tem especial relevância em náutica e navegação para determinar a posição de uma embarcação em alto-mar mediante a observação dos corpos celestes além de emprego na área ‘’design’’ de bola esportivas.

Uma esfera E, de centro no ponto (a,b,c) e raio k, é domínio de R³ definido por todos pontos no espaço tridimensional que cumprem com a seguinte definição:

Círculo máximo

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Distância ortodromia entre dois pontos ao largo de um círculo máximo sobre a superfície de uma esfera.
Ver artigo principal: Círculo máximo

A intersecção de uma esfera com um plano que contenha seu centro gera um círculo máximo e uma circunferência máxima sobre a superfície da esfera. Um círculo máximo divide a esfera em dois hemisférios iguais. A distância entre dois pontos da superfície da esfera, unidos por um arco de círculo máximo, é a menor entre eles, e denomina-se distancia ortodrômica. Como exemplos de círculos máximos, temos na superfície terrestre os meridianos e a linha do equador.

Volume e superfície das esferas

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O volume de uma esfera é o volume de revolução produzida por um semi círculo que gira ao redor do diâmetro. Segundo esta definição, se o seu raio é r, seu volume será:

A superfície é a superfície lateral de um corpo de revolução e será dada por:

Domínio sobre a superfície esférica

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Um domínio de superfície esférica é uma área sobre a superfície da esfera, limitado pela curvas dessa superfície.

Triângulo esférico

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Triângulo esférico.

Se três pontos da superfície esférica são unidos por arcos de círculo máximo, menores que 180º, a figura obtida denomina-se triângulo esférico. Os lados do polígono assim formado se expressam por conveniência como ângulos cujos vértices são o centro da esfera e não por sua longitude. Este arco medido em radianos e multiplicado pelo raio da esfera é a longitude do arco. Em um triângulo esférico os ângulos cumprem que: 180° < + + < 540°.

Fórmulas fundamentais

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  • ângulo formado entre os arcos AC e AB
  • ângulo formado entre os arcos AB e BC
  • ângulo formado entre os arcos AC e BC

Fórmula do seno

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Os senos dos lados são proporcionais a os senos dos ângulos opostos.

Fórmula da cotangente

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A fórmula da cotangente também se denomina fórmula de elementos consecutivos. Ver na figura os seguintes elementos consecutivos:

ângulo lado ângulo lado

Cosseno dos elementos centrais é igual a: menos seno do ângulo médio pela cotangente do outro ângulo.

Fórmula de Bessel

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Das fórmulas dos cossenos, obtendo a seção posterior, pode-se obter de imediato um conjunto de várias fórmulas conhecidas como "relações de seno por cosseno" ou também denominadas Fórmulas de Bessel, especialmente a terceira fórmula de Bessel. Foram deduzidas pela primeira vez pelo matemático Friedrich Wilhelm Bessel.

O conjunto das fórmulas de Bessel pode descrever para a esfera de raio unitário, isto é, a esfera trigonométrica, da forma:

Matrizes das fórmulas de um triângulo esférico

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O conjunto das fórmulas do seno, do cosseno (conhecido por alguns como segunda e primeira fórmula de Bessel), e a tercei fórmula de Bessel, podem ser expressas da seguinte forma matricial:

sendo a, b y c os lados; y A, B y C os ângulos do triângulo esférico.

Triângulo esférico retângulo

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O triângulo esférico com pelo menos um ângulo reto se denomina triângulo retângulo. Em um triângulo esférico seus três ângulos podem ser retos, em cujo caso, a soma é 270°. Em todos os outros casos essa soma excede os 180° e a esse excesso se denomina excesso esférico; se expressa pela fórmula: E: E = ++ - 180°.

Qualquer triângulo esférico pode descompor-se em dois triângulos esféricos retângulos.

Pentágono de Napier

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Pentágono de Napier.

O pentágono de Napier é uma regra mnemónica para resolver triângulos esféricos retângulos; tem esse nome em memória do cientista inglês John Napier, e se constrói da seguinte forma:

Coloca-se em cada setor circular: cateto - ângulo - cateto - ângulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecem ordenados no triângulo, exceto o ângulo reto C.

Se assinalam os ângulos B, A, e a hipotenusa c por seus complementares:

B por (90° - B)
A por (90° - A)
c por (90° - c)

Estabelecem-se as seguintes regras:

  • O seno de um elemento é igual o produto das tangentes dos elementos adjacentes:
    seno(a) = tg(b) tg(90° - B), ou seu equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)
  • O seno de um elemento é igual ao produto dos cossenos dos elementos opostos:
    seno(a) = cosseno(90° - A) cosseno(90° - c), ou seu equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)
  • Apuntes de Trigonometría esférica. Universidad de Cádiz. (em castelhano)
  • Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina). (em castelhano)

Ligações externas

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