Usuário(a):Dwsp123/Teorema da multiplicação
Teorema da multiplicação Em matemática, o teorema da multiplicação é um tipo de identidade obedecida por muitas funções especiais relacionadas com a função gama. Para o caso explícito da função gama, a identidade é um produto de valores; por isso o nome. Essas relações provém do mesmo princípio: Uma função especial pode ser obtida a partir de outras, e são simplesmente uma manifestação da mesma identidades em diferentes formas.
Característica finita[editar | editar código-fonte]
O teorema da multiplicação possui dois casos comuns. No primeiro caso, um número finito de termos são somados ou multiplicação de forma a se obter uma relação. E no segundo caso, um número infinito de termos são somados ou multiplicados. A forma finita tipicamente ocorre apenas para a função gama e funções semelhantes. Por exemplo, o teorema da multiplicação da função gama é obtido a partir da Fórmula de Chowla-Selberg.
A seguir, é exibida algumas das muitas aparições do teorema da multiplicação, para o caso de característica finita; e ao final, é mostrado casos com relações de característica zero. Em todos os casos, n e k são números inteiros e não-negativos. Para o caso em que n= 2, o teorema é comumente referido como fórmula de duplicação.
Função gama[editar | editar código-fonte]
A fórmula de duplicação e o teorema da multiplicação para a função gama são exemplos protótipos. A fórmula de duplicação para a função gama é
Também chamada de fórmula de duplicação de Legendre[1] ou relação de Legendre, em honra a Adrien-Marie Legendre. O teorema da multiplicação é
para um inteiro k ≥ 1, é as vezes chamada de fórmula de multiplicação de Gauss em honra a Carl Friedrich Gauss.
Função poligama, números harmônicos[editar | editar código-fonte]
A função poligama é a derivada logarítmica da função gama, e portanto, o teorema da multiplicação passa a ser aditivo e não multiplicativo, devido as relações entre soma e multiplicação de um logaritmo:
para , e, para , obtemos a função digama:
As identidades da função poligama podem ser usadas para se obter um teorema da multiplicação para os números harmônicos.
Notes[editar | editar código-fonte]
References[editar | editar código-fonte]
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Multiplication theorems are individually listed chapter by chapter)
- C. Truesdell, "On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics, (1950) pp. 752–757.
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