Paradoxo do quadrado perdido

O enigma do quadrado perdido.

O enigma em animação.

Sobreposição dos dois pseudo-triângulos

O paradoxo do quadrado perdido é um enigma resultado de uma ilusão de óptica, em que são vistos dois triângulos, formados pelas mesmas peças, onde porém um triângulo aparenta ter um pequeno quadrado a menos do que o outro. A suposta hipotenusa de cada figura não é reta (apesar de parecer).

De acordo com Martin Gardner, esse enigma foi elaborado em 1953 pelo mágico amador Paul Curry, de Nova Iorque. O enigma do quadrado perdido é por isso também chamado de paradoxo de Curry (embora exista o paradoxo de Curry de teoria ingênua dos conjuntos). O princípio por trás desse tipo de paradoxo é conhecido desde pelo menos 1860.

Explicação

Descrição

Os dois triângulos formados por peças coloridas parecem ter a mesma área de $13\cdot 5\cdot {\frac {1}{2}}$.

As peças de cada triângulo formado por peças:

• Um triângulo (aqui azul) com área de
  $5\cdot 2\cdot {\frac {1}{2}}\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 5\ \mathrm {cm^{2}}$
• Outro triângulo (aqui vermelho) com área de
  $8\cdot 3\cdot {\frac {1}{2}}\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 12\ \mathrm {cm^{2}}$
• Duas outras figuras (aqui, uma amarela e a outra verde), que juntas tem o tamanho de um retângulo
  $5\cdot 3\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 15\ \mathrm {cm^{2}}$
  área que é a soma de
  $1\cdot 5\ \mathrm {cm^{2}} +1\cdot 2\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 7\ \mathrm {cm^{2}}$ da figura amarela
  $1\cdot 5\ \mathrm {cm^{2}} +1\cdot 3\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 8\ \mathrm {cm^{2}}$ da figura verde

Embora ambos sejam visualmente triângulos de mesmo tamanho com sub-áreas idênticas, no segundo triângulo há um quadrado de área $1\times 1\ \mathrm {cm^{2}}$ restando.

Solução

A soma das áreas das peças resulta em uma área de $5\ \mathrm {cm^{2}} +12\ \mathrm {cm^{2}} +7\ \mathrm {cm^{2}} +8\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 32\ \mathrm {cm^{2}}$

No entanto, um triângulo com lados 13 e 5 deve ter uma área de $13\cdot 5\cdot {\frac {1}{2}}\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 32,5\mathrm {cm^{2}}$.
Assim, está dada a prova matemática de que o dado triângulo não pode ser formado por essas peças.

O paradoxo se deve a diferença entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho (eles não são triângulos similares). Portanto, a hipotenusa não é uma reta. Matematicamente, isso pode ser provado da seguinte maneira:

• Triângulo azul:
  $\arctan \left({\frac {2}{5}}\right)=\arctan \left(0,4\right)=21,8\,^{\circ }$
• Triângulo vermelho:
  $\arctan \left({\frac {3}{8}}\right)=\arctan \left(0,375\right)=20,56\,^{\circ }$
• Ângulo de um triângulo com catetos 13 e 5:
  $\arctan \left({\frac {5}{13}}\right)=\arctan \left(0,385\right)=21,04\,^{\circ }$

Disso percebe-se que o lado de cima não é uma linha reta. Portanto, a figura composta não é realmente um triângulo, mas sim um quadrilátero, percebe-se então que não são as mesmas peças, nem mesmo as linhas são iguais, os tamanhos são ligeiramente diferentes, e de pixel em pixel eles vão ganhando espaço pra poder por um espaço em branco depois.

Seqüência de Fibonacci

Figuras enganosas como essa podem também ser formadas com outras proporções. As dimensões inteiras dos lados das figuras de cima: 2, 3, 5, 8 e 13; são cinco números consecutivos da sequência de Fibonacci. Muitas outras figuras, que apresentam o mesmo fenômeno, também são feitas com outros números consecutivos na sequência de Fibonacci.

Ligações externas

• «Curry's Paradox: How Is It Possible?» (em inglês)