Intervalo (matemática): diferenças entre revisões

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Revisão das 13h25min de 10 de fevereiro de 2015

Na álgebra elementar, um intervalo é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, e possivelmente os próprios extremos. Os extremos podem ser números reais como podem ser $-\infty$ e $+\infty .$ Existe divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo.^[1] Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção. ^[1]

Representação

Notações comuns para representar intervalos são:^[2]^[3]

$(a,b)=]a,b[=\{x\in \mathbb {R} /a<x<b\}$ : intervalo aberto
$[a,b)=[a,b[=\{x\in \mathbb {R} /a\leq x<b\}$ : intervalo semi-aberto ou semi-fechado
$(a,b]=]a,b]=\{x\in \mathbb {R} /a<x\leq b\}$ : intervalo semi-aberto ou semi-fechado
$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} /a\leq x\leq b\}$ : intervalo fechado
$[a,+\infty )=[a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} /x\geq a\}$ : intervalo fechado
$(a,+\infty )=]a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} /x>a\}$ : intervalo aberto
$(-\infty ,a]=]-\infty ,a]=\{x\in \mathbb {R} /x\leq a\}$ : intervalo fechado
$(-\infty ,a)=]-\infty ,a[=\{x\in \mathbb {R} /x<a\}$ : intervalo aberto
$(-\infty ,+\infty )=]-\infty ,+\infty [=\mathbb {R}$ : a reta toda é um intervalo aberto e fechado
$\emptyset$ : conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.

O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado. ^[3] ^[1]

Explicação

] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
[ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
[ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
° bolinha toda branca significa que esse número está excluído.
• bolinha pintada de preto significa que ele está incluído.

Referências

↑ ^a ^b ^c Jaulin, Luc (2001). Applied Interval Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 1852332190
↑ Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H. (1964). Counterexamples in Analysis (em inglês). [S.l.: s.n.] Parâmetro desconhecido |Autor= ignorado (|autor=) sugerido (ajuda); Parâmetro desconhecido |imprenta= ignorado (ajuda);
↑ ^a ^b Lages, Elon Lima (2012). Análise real volume 1 funções de uma variável 11 ed. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 9788524400483

Ligações externas

«Centros de pesquisa de computação com intervalos» (em inglês)

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[:0-1] Jaulin, Luc (2001). Applied Interval Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 1852332190

[2] Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H. (1964). Counterexamples in Analysis (em inglês). [S.l.: s.n.] Parâmetro desconhecido |Autor= ignorado (|autor=) sugerido (ajuda); Parâmetro desconhecido |imprenta= ignorado (ajuda);

[:1-3] Lages, Elon Lima (2012). Análise real volume 1 funções de uma variável 11 ed. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 9788524400483

[1]

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@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+Na [[álgebra elementar]], um '''intervalo''' é um conjunto que contém cada [[número real]] entre dois extremos indicados, e possivelmente os próprios extremos. Os extremos podem ser números reais como podem ser <math>-\infty</math> e <math>+\infty.</math> Existe divergências na literatura sobre se o [[conjunto vazio]] deveria ser ou não ser considerado um intervalo.<ref name=":0">{{citar livro|nome = Luc|sobrenome = Jaulin|título = Applied Interval Analysis|ano = 2001|isbn = 1852332190|url = https://books.google.com.br/books?id=ZG0qXkYUe_AC}}</ref> Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de [[intersecção]]. <ref name=":0" />
-{{mais-fontes|data=setembro de 2011|ciência=sim}}
-Na [[álgebra elementar]], um '''intervalo''' é um conjunto que contém cada [[número real]] entre dois extremos indicados, e possivelmente os próprios extremos. Os extremos podem ser números reais como podem ser <math>-\infty</math> e <math>+\infty.</math>
 == Representação ==
-Notações comuns para representar intervalos são:<ref>{{citar livro|título=Counterexamples in Analysis|Autor= Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H. |imprenta=Dover Publications, Inc.|ano=1964|idioma2=en}}</ref>
+Notações comuns para representar intervalos são:<ref>{{citar livro|título=Counterexamples in Analysis|Autor= Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H. |imprenta=Dover Publications, Inc.|ano=1964|idioma2=en}}</ref><ref name=":1">{{citar livro|nome = Elon Lima|sobrenome = Lages|título = Análise real volume 1 funções de uma variável|ano = 2012|isbn = 9788524400483|edição = 11|local = Rio de Janeiro|editora = IMPA}}</ref>
 * <math>(a,b)= ]a,b[ =  \{x\in\mathbb{R}/ a<x<b\}</math>: intervalo aberto
@@ Linha 14: / Linha 12: @@
 * <math>(-\infty,a] = ]-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}/  x\leq a\}</math>: intervalo fechado
 * <math>(-\infty,a) = ]-\infty,a[= \{x\in\mathbb{R}/  x< a\}</math>: intervalo aberto
-* <math>(-\infty,+\infty) = ]-\infty,+\infty[=\mathbb{R}</math>: a reta toda é um intervalo aberto
+* <math>(-\infty,+\infty) = ]-\infty,+\infty[=\mathbb{R}</math>: a reta toda é um intervalo aberto e fechado
-* <math>\emptyset</math>: conjunto vazio é um intervalo aberto
+* <math>\emptyset</math>: conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.
+O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado. <ref name=":1" /> <ref name=":0" />
 == Explicação ==
-* ] → No começo da representação significa: intervalo aberto.
+* ] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
-* [ → No começo da representação significa: intervalo fechado.
+* [ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
-* ] → No final da representação significa: intervalo fechado.
+* ] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
-* [ → No final da representação significa: intervalo aberto.
+* [ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
+* ° bolinha toda branca significa que esse número está excluído.
-* ( → No final ou começo da representação significa: intervalo fechado ou aberto.
+* • bolinha pintada de preto significa que ele está incluído.
-* ) → No final ou começo da representação significa: intervalo aberto e fechado ao mesmo tempo ou seja ele é um intervalo neutro.
-* ° bolinha toda branca significa que esse número está fora(intervalo aberto).
-* • bolinha pintada de preto significa que ele está dentro(intervalo fechado).
 {{Referências}}