Instabilidade de Jeans

Em astrofísica, a instabilidade de Jeans, assim denominada em homenagem a James Jeans, causa o colapso de nuvens de gás interestelar e a subsequente formação de estrelas. A instabilidade ocorre quando a pressão interna na nuvem não é suficientemente elevada para evitar que se produza um colapso gravitacional de uma região que contém matéria. Para que exista estabilidade, a nuvem deve estar em equilíbrio hidrostático, que no caso de uma nuvem esférica se traduz em

${\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho M_{enc}}{r^{2}}}$,

onde $M_{enc}$ é a massa contida, ${\textstyle p}$ é a pressão, , ${\textstyle \rho (r)}$ é a densidade do gás (no raio ${\textstyle r}$), ${\textstyle G}$ é a constante gravitacional e ${\textstyle r}$ é o raio.

O equilíbrio é estável se as perturbações menores forem amortecidas e instável se forem amplificadas. De maneira geral, a nuvem é instável se for ou muito massiva a uma dada temperatura ou muito fria para uma dada massa para que a gravidade possa compensar a pressão do gás; nessas circunstâncias, o gradiente de pressão do gás não poderá superar a força gravitacional e a nuvem entrará em colapso.

A instabilidade de Jeans provavelmente determina quando a formação de estrelas ocorre em nuvens moleculares.

Massa de Jeans

A massa de Jeans tem o nome do físico britânico Sir James Jeans, que considerou o processo de colapso gravitacional dentro de uma nuvem gasosa. Ele foi capaz de mostrar que, sob condições apropriadas, uma nuvem, ou parte de uma, se tornaria instável e começaria a entrar em colapso quando não tivesse suporte gasoso, pressão suficiente para equilibrar a força da gravidade. A nuvem é estável para uma massa suficientemente pequena (a uma determinada temperatura e raio), mas uma vez excedida esta massa crítica, iniciará um processo de contração descontrolada até que alguma outra força possa impedir o colapso. Ele derivou uma fórmula para calcular essa massa crítica em função de sua densidade e temperatura. Quanto maior for a massa da nuvem, maior será o seu tamanho e quanto mais fria for a sua temperatura, menos estável será contra o colapso gravitacional.

O valor aproximado da massa de Jeans pode ser derivado através de um simples argumento físico. Começa-se com uma região gasosa esférica de raio ${\textstyle R}$, massa ${\textstyle M}$, e com um gás velocidade do som ${\textstyle c_{s}}$. O gás é ligeiramente comprimido e leva algum tempo

$$t_{\text{sound}}={\frac {R}{c_{s}}}\approx 0.5{\text{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\text{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{-1}$$

para que as ondas sonoras cruzem a região e tentem empurrar para trás e restabelecer o sistema em equilíbrio de pressão. Ao mesmo tempo, a gravidade tentará contrair ainda mais o sistema, e o fará numa escala de tempo de queda livre (o tempo característico que levaria para um corpo entrar em colapso sob sua própria atração gravitacional)

$$t_{\text{ff}}={\frac {1}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\text{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$$

onde ${\textstyle G}$ é a constante gravitacional universal, ${\textstyle \rho }$ é a densidade do gás dentro da região, e ${\textstyle n=\rho /\mu }$ é a densidade numérica do gás para massa média por partícula (μ = 6973390000000000000♠3.9×10⁻²⁴ g é apropriado para hidrogênio molecular com 20% de hélio em número). Quando o tempo de passagem do som é menor que o tempo de queda livre, as forças de pressão superam temporariamente a gravidade e o sistema retorna a um equilíbrio estável. Porém, quando o tempo de queda livre é menor que o tempo de travessia do som, a gravidade supera as forças de pressão e a região sofre colapso gravitacional. A condição para o colapso gravitacional é, portanto,

$$t_{\text{ff}}<t_{\text{sound}}.$$

O comprimento de Jeans resultante ${\textstyle \lambda _{\text{J}}}$ é aproximadamente

$$\lambda _{\text{J}}={\frac {c_{s}}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 0.4{\text{ pc}}\cdot {\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$$

Essa escala de comprimento é conhecida como comprimento de Jeans. Todas as escalas maiores que o comprimento de Jeans são instáveis ao colapso gravitacional, enquanto escalas menores são estáveis. A massa do Jeans ${\textstyle M_{\text{J}}}$ é apenas a massa contida em uma esfera de raio ${\textstyle R_{\text{J}}}$ (${\textstyle R_{\text{J}}={\frac {1}{2}}\lambda _{\text{J}}}$ é metade do comprimento do Jeans):

$$M_{\text{J}}={\frac {4\pi }{3}}\rho R_{\text{J}}^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{s}^{3}}{G^{\frac {3}{2}}\rho ^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\text{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$$

A "fraude de Jeans"

Posteriormente, foi apontado por outros astrofísicos, incluindo Binney e Tremaine que a análise original utilizada por Jeans era falha, pelo seguinte motivo. Na sua análise formal, embora Jeans tenha assumido que a região em colapso da nuvem estava rodeada por um meio infinito e estático, a influência deste meio estático foi completamente ignorada na análise de Jeans. Essa falha ficou conhecida como "fraude de Jeans".

Notavelmente, ao usar uma análise mais cuidadosa, levando em conta outros fatores, como a expansão do Universo, anula-se fortuitamente o aparente erro na análise de Jeans, e a equação de Jeans está correta, mesmo que sua derivação possa ter sido duvidosa.

Derivação baseada em energia

Uma derivação alternativa, possivelmente ainda mais simples, pode ser encontrada usando considerações de energia. Na nuvem interestelar, duas forças opostas estão em ação. A pressão do gás, causada pelo movimento térmico dos átomos ou moléculas que compõem a nuvem, tenta fazer com que a nuvem se expanda, enquanto a gravitação tenta fazer com que a nuvem entre em colapso. A massa de Jeans é a massa crítica onde ambas as forças estão em equilíbrio entre si. Na seguinte derivação de constantes numéricas (tal como π) e constantes da natureza (como a constante gravitacional) serão ignoradas. Eles serão reintroduzidos no resultado.

Considere uma nuvem de gás esférica homogênea com raio R. Para comprimir esta esfera em um raio R – dR, trabalho deve ser feito contra a pressão do gás. Durante a compressão, energia gravitacional é liberada. Quando esta energia é igual à quantidade de trabalho a ser realizada no gás, a massa crítica é atingida. Seja M a massa da nuvem, T a temperatura (absoluta), n a densidade das partículas e p a pressão do gás. O trabalho a ser feito é igual a p dV. Usando a lei dos gases ideais, segundo a qual p = nT, chega-se à seguinte expressão para o trabalho:

$$dW=nTR^{2}\,dR.$$

A energia potencial gravitacional de uma esfera com massa M e raio R é, além das constantes, dada pela seguinte expressão:

$$U={\frac {M^{2}}{R}}.$$

A quantidade de energia liberada quando a esfera se contrai do raio R ao raio R – dR é obtido pela diferenciação desta expressão para R, então

$$dU={\frac {M^{2}}{R^{2}}}\,dR.$$

A massa crítica é atingida assim que a energia gravitacional liberada for igual ao trabalho realizado sobre o gás:

$${\frac {M^{2}}{R^{2}}}=nTR^{2}.$$

A seguir, o raio R deve ser expresso em termos da densidade de partícula n e da massa M. Isso pode ser feito usando a relação

$$M=nR^{3}.$$

Um pouco de álgebra leva à seguinte expressão para a massa crítica:

$$M_{\text{J}}=\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}}.$$

Se durante a derivação todas as constantes forem levadas junto, a expressão resultante será

$$M_{\text{J}}=\left({\frac {375k^{3}}{4\pi m^{4}G^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}},$$

onde k é a constante de Boltzmann, G a constante gravitacional e m a massa de uma partícula compreendendo o gás. Supondo que a nuvem consista em hidrogênio atômico, o pré-fator pode ser calculado. Se tomarmos a massa solar como unidade de massa, o resultado é

$$M_{\text{J}}=3\times 10^{4}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}}.$$

Comprimento de Jeans

Comprimento de Jeans é o raio crítico de uma nuvem (normalmente uma nuvem de gás molecular interestelar e poeira) onde a energia térmica, que faz com que a nuvem se expanda, é neutralizada pela gravidade, que causa o colapso da nuvem.

A fórmula para o comprimento de Jeans é:

$$\lambda _{\text{J}}=\left({\frac {15k_{\text{B}}T}{4\pi G\mu \rho }}\right)^{\frac {1}{2}},$$

onde ${\textstyle k_{\text{B}}}$ é a constante de Boltzmann, ${\textstyle T}$ é a temperatura da nuvem, ${\textstyle \mu }$ é o peso molecular médio das partículas, ${\textstyle G}$ é a constante gravitacional e ${\textstyle \rho }$ é a densidade de massa da nuvem (i.e. a massa da nuvem dividida pelo volume da nuvem).

Talvez a maneira mais fácil de conceituar o comprimento do Jeans seja em termos de uma aproximação, na qual descartamos os fatores ${\textstyle 15}$ e ${\textstyle 4\pi }$ e no qual reformulamos ${\textstyle \rho }$ como ${\textstyle M/r^{3}}$ A fórmula para o comprimento do Jeans torna-se então:

$$\lambda _{\text{J}}\approx \left({\frac {k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}.$$

onde ${\textstyle r}$ é o raio da nuvem.

Segue-se imediatamente que ${\textstyle \lambda _{\text{J}}=r}$ quando ${\textstyle k_{\text{B}}T=GM\mu /r}$; i.e., o raio da nuvem é o comprimento de Jeans quando a energia térmica por partícula é igual ao trabalho gravitacional por partícula. Neste comprimento crítico, a nuvem não se expande nem contrai. Somente quando a energia térmica não é igual ao trabalho gravitacional é que a nuvem se expande e esfria ou se contrai e aquece, um processo que continua até que o equilíbrio seja alcançado.

Comprimento de Jeans como comprimento de onda de oscilação

O comprimento de Jeans é o comprimento de onda de oscilação (respectivamente, número de onda de Jeans, ${\textstyle k_{\text{J}}}$) abaixo do qual ocorrerão oscilações estáveis, em vez de colapso gravitacional.

$$\lambda _{\text{J}}={\frac {2\pi }{k_{\text{J}}}}=c_{\text{s}}\left({\frac {\pi }{G\rho }}\right)^{\frac {1}{2}},$$

onde G é a constante gravitacional, ${\textstyle c_{\text{s}}}$ é a velocidade do som e ${\textstyle \rho }$ é a densidade de massa fechada inclusa.

É também a distância que uma onda sonora percorreria no tempo de colapso.

Fragmentação

A instabilidade de Jeans também pode dar origem à fragmentação em determinadas condições. Para derivar a condição de fragmentação é assumido um processo adiabático em um gás ideal e também uma equação de estado politrópica. A derivação é mostrada abaixo através de uma análise dimensional:

Para processos adiabáticos, $PV^{\gamma }={\text{constant}}\rightarrow V\propto P^{-{\frac {1}{\gamma }}}.$

Para um gás ideal, $PV=nRT\Rightarrow P\cdot P^{-{\frac {1}{\gamma }}}=P^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\propto T\Rightarrow P\propto T^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}.$

Equação de estado politrópico, $P=K\rho ^{\gamma }\rightarrow T\propto \rho ^{\gamma -1}.$

Massa de Jeans, $M_{\text{J}}\propto T^{\frac {3}{2}}\rho ^{-{\frac {1}{2}}}\propto \rho ^{{\frac {3}{2}}(\gamma -1)}\rho ^{-{\frac {1}{2}}}.$

Assim, $M_{\text{J}}\propto \rho ^{{\frac {3}{2}}\left(\gamma -{\frac {4}{3}}\right)}.$

Se o índice adiabático ${\textstyle \gamma >{\frac {4}{3}}}$, a massa de Jeans aumenta com o aumento da densidade, enquanto se ${\textstyle \gamma <{\frac {4}{3}}}$ a massa de Jeans diminui com o aumento da densidade. Durante o colapso gravitacional, a densidade sempre aumenta, portanto, no segundo caso, a massa de Jeans diminuirá durante o colapso, permitindo o colapso de regiões superdensas menores, levando à fragmentação da nuvem molecular gigante. Para um gás monoatômico ideal, o índice adiabático é 5/3. Contudo, em objetos astrofísicos este valor é geralmente próximo de 1 (por exemplo, em gás parcialmente ionizado a temperaturas baixas em comparação com a energia de ionização). De forma mais geral, o processo não é realmente adiabático, mas envolve o resfriamento por radiação que é muito mais rápida que a contração, de modo que o processo pode ser modelado por um índice adiabático tão baixo quanto 1 (que corresponde ao índice politrópico de um gás isotérmico). Portanto, o segundo caso é a regra e não uma exceção nas estrelas. Esta é a razão pela qual as estrelas geralmente se formam em aglomerados.

Generalização para um meio turbulento

Chandrasekhar derivou de sua teoria das flutuações de densidade em um campo de turbulência homogêneo isotrópico a generalização para um meio turbulento do critério de Jeans para a estabilidade contra a falta de homogeneidade de um meio homogêneo quiescente infinito.

A expressão que ele obtém pode ser escrita:

$\lambda ^{2}={\frac {\pi }{G\rho }}(c^{2}+{\frac {1}{3}}{\overline {u}}^{2})={\frac {\pi }{G\rho }}(\gamma {\frac {k\theta }{m}}+{{\frac {1}{3}}{\overline {u}}^{2}})$

onde λ é o comprimento crítico para estabilidade, c é a velocidade do som no meio, θ a temperatura, m a massa de uma molécula de um gás, e ū² a velocidade quadrada média do campo de turbulência.

Ver também

• Massa de Bonnor–Ebert
• Oscilação plasmática

Bibliografia e leituras extras

• Longair, Malcolm S. Galaxy Formation. Col: Astronomy and Astrophysics Library 2 ed. Heidelberg: Springer Berlin. 737 páginas. ISBN 978-3-662-49579-7. doi:10.1007/978-3-540-73478-9 

• Carroll, Bradley W; Ostlie, Dale A (1996). An introduction to Modern Astrophysics. [S.l.: s.n.] 449 páginas. ISBN 0-321-21030-1 
• Kolanoski, Hermann (21 de julho de 2013). «Einführung in die Astroteilchenphysik» (PDF; 13,8 MB)