Operador linear ilimitado: diferenças entre revisões

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Em matemática e, em especial, em análise funcional, a noção de operador linear ilimitado fornece uma estrutura abstrata para lidar com diversas aplicações, principalmente em coneção em cone com operadores diferenciais e mecânica quântica.

A teoria dos operadores ilimitados foi desenvolvida no final dos anos de 1920 e início de 1930, por J. von Neuman and M. H. Stone, como uma tentativa de colocar a mecânica quântica em uma base matemática rigorosa ^[1] .

Definição e propriedades básicas[editar | editar código-fonte]

Sejam $X,Y$ espaços de Banach. Um operador linear ilimitado é uma aplicação linear $A:D(A)\subset X\longrightarrow Y$ , onde $D(A)$ é um subespaço de $X$ , chamado domínio de $A$ . Dizemos que o operador $A$ é densamente definido quando $D(A)$ é denso em $X$ , isto é, quando ${\overline {D(A)}}=X$ .

A imagem de $A$ é um subespaço de $Y$ denotado por $R(A)$ . O gráfico de $A$ , denotado por $G(A)$ , é definido por

G(A)=\{(x,Ax)\in X\times Y;\ x\in D(A)\}.

Um operador $A$ é dito ser fechado se o seu gráfico é fechado em $X\times Y$ . O núcleo de $A$ é um subespaço de $X$ , definido por

{\mathcal {N}}(A)=\{x\in D(A);\ Ax=0\}.

Referências[editar | editar código-fonte]

↑ Kreyszig 1989, Chapter 10, page 523

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Brezis, Haim (2011). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (em inglês). New York, NY: Springer New York

Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3

Kreyszig, Erwin (1989). Introductory functional analysis with applications. Col: Wiley classics library Wiley classics library ed ed. New York: Wiley !CS1 manut: Texto extra (link)

[1] Kreyszig 1989, Chapter 10, page 523

[1]

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-A teoria dos operadores ilimitados foi desenvolvida no final dos anos de 1920 e início de 1930, por J. von Neuman and M. H. Stone, como uma tentativa de colocar a [[mecânica quântica]] em uma base matemática rigorosa.<ref>{{harvnb| Kreyszig|1978|loc=Chapter 10, page 523}}</ref>
+A teoria dos operadores ilimitados foi desenvolvida no final dos anos de 1920 e início de 1930, por J. von Neuman and M. H. Stone, como uma tentativa de colocar a [[mecânica quântica]] em uma base matemática rigorosa <ref>{{harvnb|Kreyszig|1989|loc=Chapter 10, page  523}}</ref> .
+== Definição e propriedades básicas ==
+Sejam <math> X,Y </math> [[Espaço de Banach|espaços de Banach]]. Um '''operador linear ilimitado''' é uma aplicação linear <math> A: D(A)\subset X\longrightarrow Y </math>, onde <math> D(A) </math> é um subespaço de <math> X</math>, chamado '''domínio'''  de <math>A</math>. Dizemos que o operador <math> A </math> é '''densamente definido''' quando <math>D(A)</math> é [[conjunto denso|denso]] em <math>X</math>, isto é, quando <math> \overline{D(A)}=X</math>.
+A imagem de <math>A</math> é um subespaço de  <math>Y</math> denotado por <math>R(A)</math>. O '''gráfico''' de <math>A</math>, denotado por <math>G(A)</math>, é definido por
+:: <math>G(A)=\{(x,Ax)\in X\times Y;\ x\in D(A)\}.</math>
+Um operador <math>A</math> é dito ser '''fechado''' se o seu gráfico é fechado em <math>X\times Y</math>. O [[núcleo]] de <math>A</math> é um subespaço de <math>X</math>, definido por
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