Ângulo inscrito

Em Geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.

Tipicamente, é mais fácil pensar um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 4 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.

Propriedade

Um ângulo inscrito intercepta um arco do círculo. O arco interceptado é a porção do círculo que está no interior do ângulo. A medida do arco interceptado (que é igual ao ângulo central) é exatamente o dobro do ângulo inscrito.

Esta única propriedade tem várias consequências dentro do círculo. Ela permite demonstrar, por exemplo, que quando duas cordas se intersectam em uma circunferência, os produtos dos comprimentos de suas partes são iguais. Ela também permite provar que ângulos opostos de um quadrilátero cíclico são suplementares.

Demonstrações

Veja algumas demonstrações abaixo:

Ângulos inscritos em que uma das cordas é o diâmetro

Seja O o centro do círculo. Sejam V e A pontos do círculo. Desenhe a reta VO e estenda além de O tal que intersecte o círculo no ponto B formando o diâmetro. Desenhe um ângulo cujo vértice é o ponto V e cujos lados passem pelos pontos A e B.

O ângulo BOA é o ângulo central que chamaremos de θ. Desenhe a reta OA. Tanto a reta OV quanto OA são raios do círculo, então possuem o mesmo comprimento. Portanto o triângulo VOA é isósceles, então o ângulo BVA (ângulo inscrito) e o ângulo VAO são iguais; seja cada um dele denotado como ψ.

Os ângulos BOA e AOV são ângulos suplementares e somam 180°, pois o ângulo VOB é raso. Então AOV mede 180° − θ.

Sabe-se que a soma de três angulos de um triângulo somam 180°, e os três ângulos de VOA são:

180° − θ

ψ

ψ.

Portanto

$2 \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ$

Subtraindo 180° dos dois lados teremos,

$2 \psi = \theta$ cqd

Ângulos inscritos com o centro do círculo em seu interior

Dado um círculo cujo centro é o ponto O, escolha três pontos V, C e D sobre a circunferência. Desenhe as retas VC e VD: o ângulo DVC é inscrito. Em seguida, desenhe a reta VO e extenda além do ponto O até intersectar o círculo no ponto E. O arco DC compõe o ângulo DVC.

Suponha que este arco inclui o ponto E em si. O Ponto E é diametralmente oposta ao ponto V. Os ângulos DVE e EVC são também ângulos inscritos, mas ambos têm um lado que passa através do centro do círculo, portanto, o teorema da Parte 1 acima pode ser aplicada a eles.

Portanto

$\angle DVC = \angle DVE + \angle EVC.$

então seja

$\psi_0 = \angle DVC,$

$\psi_1 = \angle DVE,$

$\psi_2 = \angle EVC,$

tal que

$\psi_0 = \psi_1 + \psi_2. \qquad \qquad (1)$

Desenhe as retas OC e OD. O ângulo DOC é um ângulo central, assim como os ângulos DOE e EOC, e

$\angle DOC = \angle DOE + \angle EOC.$

Seja

$\theta_0 = \angle DOC,$

$\theta_1 = \angle DOE,$

$\theta_2 = \angle EOC,$

tal que

$\theta_0 = \theta_1 + \theta_2. \qquad \qquad (2)$

Da parte 1 sabemos que $\theta_1 = 2 \psi_1$ e que $\theta_2 = 2 \psi_2$. Combinando esses resultados com a equação (2), temos

$\theta_0 = 2 \psi_1 + 2 \psi_2$

portanto, pela equação (1),

$\theta_0 = 2 \psi_0.$

Ângulos inscritos com o centro do círculo em seu exterior

Ligações externas

• Munching on Inscribed Angles at Cut-the-Knot
• Arc Central Angle With interactive animation
• Arc Peripheral (inscribed) Angle With interactive animation
• Arc Central Angle Theorem With interactive animation