Conjunto errante

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Nos ramos da matemática e da teoria dos sistemas dinâmicos, o conceito de conjunto errante formaliza a idéia de movimento em tais sistemas. Quando um sistema dinâmico possui um conjunto errante de medida positiva, ele é dito dissipativo. Este comportamento é distinto do que ocorre num sistema conservativo, onde vale o teorema da recorrência de Poincaré. Intuitivamente, a conexão entre conjuntos errantes e dissipação é facilmente entendida: se uma porção do sistema "erra" de acordo com a evolução temporal do sistema, a partir de um determinado tempo ele nunca retorna à sua posição original.


Pontos errantes[editar | editar código-fonte]

A definição de ponto errante para sistemas dinâmicos discretos é a seguinte: Seja f:X \rightarrow X uma aplicação contínua, onde X é um espaço topológico. Um ponto p \in X é dito errante com respeito a f, ou simplesmente errante, caso existam U vizinhança de p em X e N \in \mathbb{N} tais que U \cap f^n(U)=\emptyset, para todo n \geq N. O conjunto de todos os pontos errantes de X é chamado de conjunto errante de f.

De forma análoga, seja \phi:M \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} um fluxo contínuo sobre uma variedade diferenciável M. Dizemos que um ponto p \in M é errante caso existam U vizinhança de p em M e T \in \mathbb{R} tais que para todo t \geq T,  \phi(U \times \{t\}) \cap U=\emptyset.

Propriedades do conjunto errante[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto errante de f é um subconjunto aberto de f.
  • O complementar do conjunto errante de f é chamado de conjunto não-errante de f, e é denotado por \Omega(f).
  • Todo ponto recorrente é não-errante.
  • É possível mostrar que o conjunto não-errante de um difeomorfismo ou um fluxo sobre uma variedade compacta M é sempre não-vazio.
  • Se f:M \rightarrow M é um difeomorfismo de Anosov sobre uma variedade compacta, então os pontos periódicos de f são densos em \Omega(f).