Discussão:Som

VDA

Removi conteúdo cópia de http://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/acustica/introducao/som.html Manuel Anastácio 21h58min de 29 de Outubro de 2007 (UTC)

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Caro David, não necessita - nem deve - assinar suas edições nos artigos da Wikipédia, uma vez que cada edição sua fica registada no histórico da página. Deve, no entanto, assinar seus comentários nas páginas de discussão - que servem para discutir o conteúdo de cada verbete - usando quatro "~". Boas contribuições. --Rui Silva (discussão) 09h09min de 1 de maio de 2009 (UTC)

Alteração

Removi as equações, suas deduções e textos explicativos, a seguir, considerando que o artigo visa dar informações de Física, não demonstrações matemáticas em geral. Estas informações deveriam ser encontradas no artigo de Equação da onda, o que as tornam desnecessárias, nesse caso. Deixei as equações importantes citadas, fazendo referência ao artigo onde todas os dados devem ser encontrados:

"Aqui, consideraremos apenas fluidos ideais e isotrópicos. Duas equações importantes na descrição de um fluido ideal são a Equação de Continuidade:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot {\vec {v}}=0$

e a Equação de Euler:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p$

onde $\rho =\rho (x,y,z,t)$ é a densidade definida para ponto do espaço e para cada instante do tempo, ${\vec {v}}={\vec {v}}(x,y,z,t)$ é a velocidade da região infinitesimal do fluido no ponto $(x,y,z)$ durante o instante $t$, e $p=p(x,y,z,t)$ é a pressão, definida da mesma maneira que a densidade.

Para nos restringirmos a efeitos sonoros, consideraremos a pequenez da velocidade e das derivadas da pressão e densidade. A consequência disso é que os termos que dependem duplamente de uma ou duas dessas grandezas poderão ser desprezados, uma vez que diminuições delas provocam uma diminuição muito maior desses termos do que daqueles que dependem apenas de uma grandeza. Assim, podemos identificar dois desses termos nas equações abaixo:

${\vec {v}}\cdot \nabla \rho$

e

$({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}$

De modo que elas ficam

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot {\vec {v}}=0$

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p$

Podemos derivar parcialmente ambos os membros da primeira em relação ao tempo. Assim, obtemos

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\nabla \cdot {\vec {v}}-\rho \nabla \cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}$

O termo

$-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\nabla \cdot {\vec {v}}$

Depende duplamente da densidade e da velocidade, então o desprezamos:

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=-\rho \nabla \cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}$

Agora, substituimos nesta a equação que veio da equação de Euler:

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=\rho \nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\nabla p\right)=\rho \left(-{\frac {\nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\cdot \nabla p+\nabla ^{2}p$

Desprezaremos o primeiro termo e consideraremos, em uma hipótese que a densidade e a pressão sejam independentes do tempo, que:

$\nabla ^{2}p=\left[{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right]\nabla ^{2}\rho$

Finalmente podemos escrever a Equação de Onda:

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=v^{2}\nabla ^{2}\rho$

onde identifica-se

$v={\sqrt {\left[{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right]}}$

como a velocidade do som no meio.

Na realidade, há várias equações de ondas sonoras. sendo que a escrevemos acima é a equação da densidade. A equação da pressão é obtida trivialmente usando a regra da cadeia:

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=v^{2}\nabla ^{2}p$

Agora, derivaremos a equação da velocidade. Essa equação será um pouco diferente das demais, uma vez que se trata de uma equação vetorial. Para isso, usaremos novamente a equação

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot {\vec {v}}=0$

Podemos resolvê-la em relação à densidade, colocando-a sob a forma

${\frac {\partial \rho /\partial t}{\rho }}=-\nabla \cdot {\vec {v}}$

${\frac {\partial }{\partial t}}(ln\rho )=-\nabla \cdot {\vec {v}}$

$(ln\rho )=-\int _{t_{0}}^{t}\nabla \cdot {\vec {v}}dt+D(x,y,z)$

Agora, introduziremos o deslocamento ${\vec {u}}(x,y,z,t)$. Ele indica o deslocamento de uma partícula do fluido em relação à sua posição de equilíbrio (x,y,z). Com isso, podemos ver que

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}={\vec {v}}$

Então, escrevemos

$\rho =e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}+D(x,y,z)}$

Fazendo $\rho (t_{0})=\rho _{0}$, e $-\nabla \cdot {\vec {u}}(t_{0})=0$ obtemos

$\rho _{0}=e^{D(x,y,z)}$

Finalmente,

$\rho =\rho _{0}e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}$

Agora, voltemos à equação que derivamos, no início, da equação de Euler:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p$

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-v^{2}{\frac {1}{\rho }}\nabla \rho$

${\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial t^{2}}}=-v^{2}{\frac {1}{\rho }}\nabla \rho$

E, substituindo pelo que achamos,

${\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial t^{2}}}=-v^{2}{\frac {1}{\rho _{0}e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}}}\nabla \left(\rho _{0}e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}\right)$

${\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial t^{2}}}=-v^{2}{\frac {1}{\rho _{0}e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}}}\left(\nabla \rho _{0}.e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}+\rho _{0}\nabla \left(e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}\right)\right)$

${\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial t^{2}}}=-v^{2}{\frac {1}{\rho _{0}e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}}}\left(\nabla \rho _{0}.e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}+\rho _{0}\nabla \left({-\nabla \cdot {\vec {u}}}\right)e^{-\nabla \cdot {\vec {u}}}\right)$

${\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial t^{2}}}=-v^{2}\left(\nabla \left(-\nabla \cdot {\vec {u}}\right)+{\frac {\nabla \rho _{0}}{\rho _{0}}}\right)$

Derivando ambos os lados parcialmente em relação ao tempo,

${\vec {v}}\cdot \nabla \rho$

Que é a equação de ondas sonoras para a velocidade." -- Marimlima (discussão) 13h49min de 12 de maio de 2013 (UTC) Mariana Lima

Equações e descrições

As equações precisam de correção. Sequências de letras costumam designar produto. Assim, $sm$ costuma ser entendido como $s$ vezes $m$, assim como $cos$ seria o produto de $c$, $o$ e $s$. É óbvio que não é isto que se quer informar. No caso das funções e operadores matemáticos conhecidos (seno, cosseno, arcos seno/cosseno/etc., logarítmos natural e base genérica, limite, máximo, entre outros) o normal é colocá-los em fonte reta, para diferenciar das incógnitas e variáveis, que vão em itálico - que é o padrão no modo matemático.

As descrições dos símbolos precisam ser os mesmos das equações. Se há uma letra em itálico na equação, deve estar em itálico também no texto.

Corrigi algumas equações e arrumei algumas das unidades, que estavam em desacordo com as regras do Sistema Internacional de Unidades (SI).--Jorge_A_V_Alves (discussão) 14h43min de 29 de abril de 2016 (UTC)