Equação mestre

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Em física e química e campos relacionados, equações mestre são usadas para descrever a evolução no tempo de um sistema que pode ser modelado como estando em um exaro número contável de estados a qualquer tempo dado, e onde a divisão entre estados é tratada probabilisticamente. As equações são usualmente um conjunto de equações diferenciais para a variação no tempo das probabilidades que tal sistema ocupa em cada diferente estado.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Uma equação mestre é um conjunto fenomenológico de equações diferenciais de primeira ordem[carece de fontes?] descrevendo a evolução no tempo (usualmente) da probabilidade de um sistema ocupar cada um dos conjuntos discretos de estados[carece de fontes?] com respeito a uma variável contínua de tempo t. A mais familiar forma de uma equação mestre na forma de matriz:

 \frac{d\vec{P}}{dt}=\mathbf{A}\vec{P},

onde \vec{P} é um vetor coluna (onda elemento i representa estado i), e \mathbf{A} é a matriz de conexões. A forma como as conexões entre os estados são feitas determina a dimensão do problema, é tanto

  • um sistema d-dimensional (onde d é 1,2,3,...), onde qualquer estado está conectado com exatamente seu 2d mais próximos vizinhos, ou
  • uma rede, onde cada par de estados pode ter uma conexão (dependendo das propriedades da rede).

Quando as conexões são simplesmente números, a equação mestre representa um esquema cinético, e o processo é Markoviano (qualquer salto de tempo da função densidade de probabilidade para o estado i é um exponencial, com uma taxa igual ao valor da conexão). Quando as conexões dependem do tempo atual (i.e. a matriz \mathbf{A} depende do tempo, \mathbf{A}\rightarrow\mathbf{A}(t) ), o processo não é Markoviano, e a equação mestre obedece,

 \frac{d\vec{P}}{dt}=\mathbf{A}(t)\vec{P}.


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Referências[editar | editar código-fonte]

  • van Kampen, N. G.. Stochastic processes in physics and chemistry. [S.l.]: North Holland, 1981. ISBN 978-0-444-52965-7.
  • Gardiner, C. W.. Handbook of Stochastic Methods. [S.l.]: Springer, 1985. ISBN 3-540-20882-8.
  • Risken, H.. The Fokker-Planck Equation. [S.l.]: Springer, 1984. ISBN 3-450-61530-X.