Fibrado vectorial

Em topologia diferencial, um fibrado vectorial é um espaço topológico que é um associação de um espaço vectorial a cada ponto de outro espaço topológico (mais simples), satisfazendo determinadas propriedades que ligam a estrutura dos espaços topológicos aos espaços vetoriais.

Ao espaço topológico mais simples chama-se base, a cada espaço vectorial uma fibra e à união de todas as fibras o espaço total do fibrado.

Essencialmente, a propriedade para ligar a base às fibras é que, localmente, o fibrado vectorial seja muito parecido com um cilindro, ou seja, para cada ponto x do espaço topológico exista uma vizinhança U de x no espaço topológico tal que U x o espaço vetorial seja homeomorfo a um aberto do fibrado.

Definição

Um fibrado vectorial se caracteriza por:

• Um espaço topológico E (chamado espaço total, por abuso de linguagem, às vezes chamado de o próprio fibrado vectorial)
• Um espaço topológico X (chamado de base)
• Uma projeção contínua $\pi: E \to X\,$
• Para todo $x \in X\,$, uma estrutura de espaço vectorial em $\pi^{-1}(x) \subseteq E\,$

Satisfazendo o axioma:

• Para todo $x \in X\,$, existe uma vizinhança U de x, um número natural k e um homeomorfismo $\phi: U \times \R^k \to \pi^{-1}(U)\,$ em que:
  • $\pi(\phi(x, v)) = x\,$ para todo vetor v de $\R^k\,$
  • a função $v \to \phi(x, v)\,$ é um isomorfismo entre os espaços vectoriais $\R^k\,$ e $\pi^{-1}(x)\,$

Exemplos

• Se E é um espaço vectorial e X é um espaço topológico, então o produto E×X é um fibrado vectorial sobre X.
• O fibrado tangente de uma variedade diferenciável é um fibrado vectorial sobre essa variedade.