Funções pares e ímpares

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f(x) = x, uma função ímpar
f(x) = x2, uma função par

Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria de funções.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja E\subseteq\mathbb{R} um conjunto com a seguinte propriedade de simetria em relação à origem:

x\in E \Longrightarrow -x\in E.
  • Uma função f:E\to\mathbb{R} é dita par se
f(x)=f(-x)
  • Uma função f:E\to\mathbb{R} é dita ímpar se
f(-x)=-f(x)

A nomenclatura provém do fato que a função f(x)=x^k é impar se k é um número ímpar e par se k é um número par.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • f(x)=sen(x) é uma função ímpar.
  • f(x)=cos(x) é uma função par.

Decomposição em funções par e ímpar[editar | editar código-fonte]

Toda função f:E\to\mathbb{R} definida em um conjunto E simétrico em relação à origem pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar:

f(x)= f_i(x) + f_p(x) = \left(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\right)+\left(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right)

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja f(x)=e^x, temos:

f(x)= \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)=\mathrm{senh}\,(x)+\cosh(x)

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • A única função par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula (f(x)=0).
  • Há funções que não são nem pares nem ímpares.
  • Uma função ímpar definida na origem é nula na origem.
  • A soma de duas funções de mesma paridade mantem essa paridade.
  • O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par.
  • O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar.
  • A derivada de uma função par é uma função ímpar.
  • A derivada de uma função ímpar é uma função par.

Ver também[editar | editar código-fonte]