Funções pares e ímpares

f(x) = x, uma função ímpar

f(x) = x², uma função par

Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria de funções.

Definição

Seja $E\subseteq\mathbb{R}$ um conjunto com a seguinte propriedade de simetria em relação à origem:

$x\in E \Longrightarrow -x\in E$.

• Uma função $f:E\to\mathbb{R}$ é dita par se

$f(x)=f(-x)$

• Uma função $f:E\to\mathbb{R}$ é dita ímpar se

$f(-x)=-f(x)$

A nomenclatura provém do fato que a função $f(x)=x^k$ é impar se $k$ é um número ímpar e par se $k$ é um número par.

Exemplos

• $f(x)=sen(x)$ é uma função ímpar.
• $f(x)=cos(x)$ é uma função par.

Decomposição em funções par e ímpar

Toda função $f:E\to\mathbb{R}$ definida em um conjunto $E$ simétrico em relação à origem pode ser escito como a soma de uma função par e uma função ímpar:

$f(x)= f_i(x) + f_p(x) = \left(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\right)+\left(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right)$

Exemplo

Seja $f(x)=e^x$, temos:

$f(x)= \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)=\sinh(x)+\cosh(x)$

Propriedades

• A única função par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula ($f(x)=0$).
• Há funções que não são nem pares nem ímpares.
• Uma função ímpar definida na origem é nula na origem.
• A soma de duas funções de mesma paridade mantem essa paridade.
• O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par.
• O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar.
• A derivada de uma função par é uma função ímpar.
• A derivada de uma função ímpar é uma função par.