Geometria projetiva

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Sistema projetivo.

Geometria projetiva ou projectiva, é o estudo das propriedades descritivas das figuras geométricas. A Geometria Projetiva[1] , consolida-se a partir de uma publicação de Jean Victor Poncelet, intitulada Tratado das Propriedades Projetivas das Figuras no ano de 1822. Ampliando a linguagem da "Simples Geometria"[2] aproximando-a da Geometria analítica e, sobretudo oferecendo meios próprios para demonstrar e fazer descobrir as propriedades de que gozam as figuras, quando se as considera de uma maneira abstrata e independente de qualquer grandeza absoluta e determinada[3] .

História[editar | editar código-fonte]

A necessidade da criação da Geometria Projetiva começa a se fazer presente no século XV, em face das dificuldades encontradas pelos artistas do Renascimento, que pretendiam dar aos seus quadros, uma aparência naturalista, tal qual a visão humana. Contudo até o século XVII os matemáticos não haviam se interessado por tais estudos ligados à perspectiva. Kepler compreendeu a importância do estudo unificado das cônicas e da conceituação de elementos infinitos, mas não se aprofundou em nenhum dos dois temas[4] .

Os processos empíricos se sucederam, até que no século XVII Girard Desargues mostrou que as retas paralelas e concorrentes são de mesma natureza. [nota 2]

Além disso, Desargues publicou um tratado original sobre seções cônicas, aproveitando ideias de projeção, mas esse trabalho foi ignorado pela maioria dos matemáticos da época, apesar de ter chamado a atenção de Fermat e Descartes. O que pode ter causado tal falta de interesse por esse trabalho foi a pequena tiragem, que rapidamente se esgotou e o estilo bastante difícil.

Um exemplar manuscrito foi encontrado por Michel Chasles no século XIX, quando foi devidamente valorizado. Blaise Pascal, discípulo de Desargues, compreendeu as teorias do mestre e também tentou inserir a projeção central na geometria, sem sucesso.

O início da Geometria projetiva vem com o tratado de Victor Poncelet, um antigo aluno da Escola Politécnica e discípulo de Gaspar Monge. A obra incentivou o chamado “grande período da história da geometria projetiva”, que abriu espaço a grandes matemáticos.

Os estudos de Desargues (precursor) e Poncelet (criador) levaram os geômetras a classificar a geometria em duas categorias:

  • 1. propriedades métricas, que intervêm nas medias das distâncias e dos ângulos
  • 2. propriedades descritivas, que tratam das relações e posições dos elementos geométricos entre si.

Para exemplificar, tem-se a propriedade métrica no teorema de Pitágoras e a propriedade descritiva no teorema de Blaise Pascal.

A Projetiva criou uma grande área na geometria, única e elegantemente desenvolvida, cujos postulados transcendem os limites do espaço euclidiano.

Notas[editar | editar código-fonte]

[nota 1] ^  O ponto de fuga é a representação de um ponto impróprio no plano de projeção, por exemplo, a observação dos trilhos de um trem, originará um ponto na Linha do horizonte,o qual é conhecido como Ponto de fuga.

Referências

  1. Termo usado pela primeira vez por Luigi Cremona, no seu livro intitulado Elèments de Gèometrie Projective, escrito em (1875)
  2. Nas palavras do próprio Poncelet na p. 22, da 2ª ed., de Traitè des Propriétés Projectives des Figures
  3. Mandarino, Denis, Desenho Projetivo e Geometria Descritiva. São Paulo: Ed. Plêiade, 1996.
  4. Taton, Rene e Flocon, Albert - A perspectiva. Capítulo IV. Difusão Européia do Livro, São Paulo, 1967.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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