Prova direta

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Na matemática e lógica, uma prova direta é uma forma de mostrar que certa afirmação é falsa ou verdadeira através de uma combinação de axiomas, lemas e teoremas já estabelecidos. Em cada passo, usa-se implicação "Se p, então q" com p sendo verdadeiro.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Este exemplo ilustra a diferença entre um prova direta e uma prova por contradição, dita indireta. Considere o teorema da desigualdade das médias: Se p e q são números reais não-negativos então:

\sqrt{pq}\leq \frac{p+q}{2}\,

Prova direta[editar | editar código-fonte]

(p-q)^2\geq 0\,

expandindo:

p^2-2pq+q^2\geq 0\,

somando 4pq a cada lado:

p^2+2pq+q^2\geq 4pq\,

fatorando:

(p+q)^2\geq 4pq\,

extraínda a raiz quadrada (aqui se usa que p+q\ge 0\, e pq\ge 0\,):

(p+q)\geq 2\sqrt{pq}\,

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\frac{p+q}{2}\geq \sqrt{pq}\,

o o resultado segue.

Prova por contradição[editar | editar código-fonte]

Suponha, por absurdo, que existem dois números reais não negativos p e q tais que:

\sqrt{pq}> \frac{p+q}{2}\,

então, tomando quadrados, temos:

pq> \frac{(p+q)^2}{4}\,

o que implica:

4pq> p^2+2pq+q^2\,

ou, reescrevendo:

0> p^2-2pq+q^2\,

fatorando o lado direito:

0> (p-q)^2\,

o que é um absurdo pois :(p-q)^2\ge 0\,.