Superfície de Macbeath

Na teoria da superfície de Riemann e na geometria hiperbólica, a superfície de Macbeath, também chamada curva de Macbeath ou curva de Fricke-Macbeath, é a superfície do gênero 7 de Hurwitz.

O grupo automorfismo da superfície Macbeath é o grupo simples PSL (2,8), constituído por 504 simetrias.^[1]

Construção de grupo de triângulo[editar | editar código-fonte]

O grupo Fuchsiano da superfície pode ser construído como o principal subgrupo de congruência do grupo do triângulo (2,3,7) em uma torre adequada dos subgrupos de congruência principal. Nesse caso, as opções de álgebra de quaternário e ordem de quaternário de Hurwitz são descritas na página de grupo do triângulo. Escolhendo o ideal $\langle 2\rangle$ no anel de números inteiros, o subgrupo correspondente de congruência principal define essa superfície do gênero 7. Sua sístole é de cerca de 5,796, e o número de alças sistólicas é 126, de acordo com os cálculos de R. Vogeler.

Nota histórica[editar | editar código-fonte]

Esta superfície foi originalmente descoberta por Robert Fricke (1899), mas nomeada posteriormente por Alexander Murray Macbeath devido à sua posterior redescoberta independente da mesma curva.^[2] Elkies escreve que a equivalência entre as curvas estudadas por Fricke e Macbeath "pode primeiro ter sido observada por Serre em uma carta de 24.vii.1990 a Abhyankar ".^[3]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Quártica de Klein

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Berry, Kevin; Tretkoff, Marvin (1992), «The period matrix of Macbeath's curve of genus seven», Curves, Jacobians, and abelian varieties, Amherst, MA, 1990, Providence, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Math. Soc., pp. 31–40, MR 1188192, doi:10.1090/conm/136/1188192 .
Bujalance, Emilio; Costa, Antonio F. (1994), «Study of the symmetries of the Macbeath surface», Mathematical contributions, Madrid: Editorial Complutense, pp. 375–385, MR 1303808 .
Elkies, N. D. (1998), «Shimura curve computations», in: Buhler, Joe P., Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III, ISBN 3-540-64657-4, Lecture Notes in Computer Science, 1423, Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science, pp. 1–47, arXiv:math.NT/0005160, doi:10.1007/BFb0054849 .
Fricke, R. (1899), «Ueber eine einfache Gruppe von 504 Operationen» (PDF), Mathematische Annalen, 52 (2–3): 321–339, doi:10.1007/BF01476163 .
Gofmann, R. (1989), «Weierstrass points on Macbeath's curve», Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., 104 (5): 31–33, MR 1029778 . Translation in Moscow Univ. Math. Bull. 44 (1989), no. 5, 37–40.
Macbeath, A. (1965), «On a curve of genus 7», Proceedings of the London Mathematical Society, 15: 527–542, doi:10.1112/plms/s3-15.1.527 .
Vogeler, R. (2003), «On the geometry of Hurwitz surfaces», Florida State University thesis .
Wohlfahrt, K. (1985), «Macbeath's curve and the modular group», Glasgow Math. J., 27: 239–247, MR 0819842, doi:10.1017/S0017089500006212 . Corrigendum, vol. 28, no. 2, 1986, p. 241, MR 0848433.

[w-1] Wohlfahrt (1985).

[2] Macbeath (1965).

[3] Elkies (1998).

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[2]

[3]