Teorema de Banach-Schauder

Em matemática, o teorema de Banach-Schauder é também conhecido como teorema do mapeamento aberto e constitui um dos principais resultados da análise funcional. O teorema recebe o nome em honra aos matemáticos Stefan Banach e Juliusz Schauder.

Enunciado

Seja $\Lambda:X\to Y\,$ um operador linear limitado entre um F-espaço $X\,$ e um espaço linear topológico $Y\,$. Se a imagem $\Lambda(X)\,$ é um conjunto de segunda categoria em $Y\,$ então:

• $\Lambda(X)\,$
• $\Lambda\,$ é uma aplicação aberta
• $Y\,$ é um F-espaço.

Versão em espaços de Banach

• Se $\Lambda:X\to Y\,$ um operador linear limitado sobrejetivo entre dois espaços de Banach então $\Lambda\,$ é aberto;
• Se, além disto, for injetivo, então $\Lambda^{-1}:Y\to X\,$ é contínuo.