Teorema de Banach-Steinhaus

Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Enunciado

Seja $X\,$ um espaço de Banach e $N\,$ um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda $\{T_\alpha\}_{\alpha\in\Alpha}\,$ uma família de operadores lineares limitados definidos de $X\,$ em $N\,$. Defina ainda:

$B:=\{x\in X: \sup_{\alpha\in\Alpha}\|T_{\alpha}(x)\|<\infty\}$

Então, se $B\,$ é de segunda categoria em $X\,$ então:

• $B=X\,$ e
• $\sup_{\alpha\in\Alpha}\|T_{\alpha}\|<\infty$

Demonstração

Escreva:

$B=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n,~~B_n:=\{x\in X: \sup_{\alpha\in\Alpha}\|T_{\alpha}(x)\|\leq n\}$

Como

$B_n:=\bigcap_{\alpha\in\Alpha}\{x\in X: \|T_{\alpha}(x)\|\leq n\}$

e cada um dos operadores $T_\alpha\,$ é contínuo, $B_n\,$ é fechado. Do fato de que $X\,$ é de segunda categoria em $X\,$ e pelo teorema da categoria de Baire. Pelo menos um dos $B_n\,$ possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, $B_n=nB_1\,$ e portanto, existe um $\delta>0\,$ e um $x_0\in B_1\,$ tais que:

$B(x_0,\delta)\subseteq B_1\,$, $B(x_0,\delta)\,$ é bola de centro $x_0\,$ e raio $\delta\,$.

Como $B_1\,$ é convexo, pode-se considerar $x_0=0\,$.

Escolha $r>0\,$ tal que $\|xr\|=\frac{\delta}{2}\,$ e estime:

$\|T_{\alpha}(x)\|= \frac{1}{r}\|T_{\alpha}(rx)\|\leq \frac{1}{r} = \frac{2}{\delta}\|x\|$

E o resultado segue.