Teorema de Banach-Steinhaus

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Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja X\, um espaço de Banach e N\, um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda \{T_\alpha\}_{\alpha\in\Alpha}\, uma família de operadores lineares limitados definidos de X\, em N\,. Defina ainda:

B:=\{x\in X: \sup_{\alpha\in\Alpha}\|T_{\alpha}(x)\|<\infty\}

Então, se B\, é de segunda categoria em X\, então:

  • B=X\, e
  • \sup_{\alpha\in\Alpha}\|T_{\alpha}\|<\infty

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Escreva:

B=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n,~~B_n:=\{x\in X: \sup_{\alpha\in\Alpha}\|T_{\alpha}(x)\|\leq n\}

Como

B_n:=\bigcap_{\alpha\in\Alpha}\{x\in X: \|T_{\alpha}(x)\|\leq n\}

e cada um dos operadores T_\alpha\, é contínuo, B_n\, é fechado. Do fato de que X\, é de segunda categoria em X\, e pelo teorema da categoria de Baire. Pelo menos um dos B_n\, possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, B_n=nB_1\, e portanto, existe um \delta>0\, e um x_0\in B_1\, tais que:

B(x_0,\delta)\subseteq B_1\,, B(x_0,\delta)\, é bola de centro x_0\, e raio \delta\,.

Como B_1\, é convexo, pode-se considerar x_0=0\,.

Escolha r>0\, tal que \|xr\|=\frac{\delta}{2}\, e estime:

\|T_{\alpha}(x)\|= \frac{1}{r}\|T_{\alpha}(rx)\|\leq \frac{1}{r} = \frac{2}{\delta}\|x\|

E o resultado segue.

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