Teorema de Banach-Schauder
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Em matemática, o teorema de Banach-Schauder é também conhecido como teorema do mapeamento aberto, ou teorema da aplicação aberta e constitui um dos principais resultados da análise funcional. O teorema recebe o nome em honra aos matemáticos Stefan Banach e Juliusz Schauder.
Enunciado[editar | editar código-fonte]
Seja um operador linear limitado entre um F-espaço e um espaço linear topológico . Se a imagem é um conjunto de segunda categoria em então:
- é uma aplicação aberta
- é um F-espaço.
Versão em espaços de Banach[editar | editar código-fonte]
- Se um operador linear limitado sobrejetivo entre dois espaços de Banach então é aberto;
- Se, além disto, for injetivo, então é contínuo.
Outro possível enunciado[editar | editar código-fonte]
Sejam e espaços de Banach e linear, limitada e sobrejetora. Então é uma aplicação aberta. [1]
Esboço da demosntração[editar | editar código-fonte]
Esta será obtida após a prova dos três seguintes passos:[2]
- tal que ;
- tal que ;
- T é aberta
Outras consequências do Teorema de Baire[editar | editar código-fonte]
Este teorema é uma das consequências do teorema de Baire. Outros resultados que são consequências do mesmo:
Referências
Referências[editar | editar código-fonte]
- BOTELHO, G.; PELLEGRINO, D. Os problemas da base incondicional e do espaço homogêneo. Matemática Universitária. 2006.
- KREYSZIG, Erwin. Introductory functional analysis with applications. New York, 1978.