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O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em França, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde representa o número da linha e representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.[1] O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal. O triângulo também pode ser representado:
0
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
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6
2
1
3
6
10
15
3
1
4
10
20
4
1
5
15
5
1
6
6
1
Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por tmn. Então tmn = tm-1,n + tm,n-1, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são tm, −1 = 0, t−1, n para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t00 = 1. Pascal conclui com a prova,
Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.
Portanto:
Soma de uma Linha
A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a .
Soma de uma Coluna
A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação .
Portanto:
Simetria
O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:
Isso deve-se ao fato de que
Soma de uma Diagonal
Conhecendo as fórmulas (Soma de uma coluna) e (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: .
Novas Propriedades - Desigualdades
Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam:[2]
1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central, localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20 > 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central.
2- Dados dois elementos A e B da coluna central, o produto deles é maior do que o produto de dois elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e por B, que estejam simetricamente localizados em relação a A e a B. Por exemplo, olhando novamente a figura acima: se A = 2 e B = 20, então: