Álgebra de Borel

Seja X um espaço topológico. A álgebra de Borel ou $\sigma$-álgebra de Borel associada à topologia de X é a menor sigma-álgebra ($\sigma$-álgebra) que contém os abertos da topologia.

Obs: existe uma definição alternativa em que abertos é trocada por conjuntos compactos; essas definições geram a mesma $\sigma$-álgebra no caso de X = $\mathbb {R} ^{n}$ com a topologia usual mas, em geral, essas duas definições não são equivalentes.

Borelianos particulares

• A família ${\mathfrak {F}}_{\sigma }\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a união enumerável de conjuntos fechados:

$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n},~~F_{n}^{c}\in \tau \,$

• A família ${\mathfrak {G}}_{\delta }\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a interseção enumerável de conjuntos abertos:

$E=\bigcap _{n=1}^{\infty }O_{n},~~O_{n}\in \tau \,$

• A família ${\mathfrak {F}}_{\sigma \delta }\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a interseção enumerável de conjuntos ${\mathfrak {F}}_{\sigma }\,$:

$E=\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n},~~E_{n}\in {\mathfrak {F}}_{\sigma }\,$

• A família ${\mathfrak {G}}_{\delta \sigma }\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a união enumerável de conjuntos ${\mathfrak {G}}_{\delta }\,$:

$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n},~~E_{n}\in {\mathfrak {G}}_{\delta }\,$