Alegoria (matemática)

No campo matemático da teoria das categorias, uma alegoria é uma categoria que possui parte da estrutura da categoria Rel de conjuntos e relações binárias entre eles. Alegorias podem ser usadas como uma abstração de categorias de relações, e nesse sentido, a teoria das alegorias é uma generalização da álgebra de relações para relações entre diferentes tipos. Alegorias também são úteis na definição e investigação de certas construções na teoria das categorias, como as completudes exatas.

Neste artigo, adotamos a convenção de que morfismos se compõem da direita para a esquerda, então $RS$ significa "primeiro faça $S$ , depois faça $R$ ".

Definição

Uma alegoria é uma categoria na qual

cada morfismo $R\colon X\to Y$ está associado a uma anti-involução, ou seja, um morfismo $R^{\circ }\colon Y\to X$ com $R^{\circ \circ }=R$ e $(RS)^{\circ }=S^{\circ }R^{\circ }{\text{;}}$ e
cada par de morfismos $R,S\colon X\to Y$ com domínio/codomínio comum está associado a uma interseção, ou seja, um morfismo $R\cap S\colon X\to Y$

todos de tal forma que

interseções são idempotentes: $R\cap R=R,$ comutativas: $R\cap S=S\cap R,$ e associativas: $(R\cap S)\cap T=R\cap (S\cap T);$
anti-involução distribui sobre interseção: $(R\cap S)^{\circ }=R^{\circ }\cap S^{\circ };$
composição é semi-distributiva sobre interseção: $R(S\cap T)\subseteq RS\cap RT$ e $(R\cap S)T\subseteq RT\cap ST;$ e
a lei da modularidade é satisfeita: $RS\cap T\subseteq (R\cap TS^{\circ })S.$

Aqui, estamos abreviando usando a ordem definida pela interseção: $R\subseteq S$ significa $R=R\cap S.$

Um primeiro exemplo de uma alegoria é a categoria de conjuntos e relações. Os objetos desta alegoria são conjuntos, e um morfismo $X\to Y$ é uma relação binária entre $X$ e $Y$ . A composição de morfismos é composição de relações, e a anti-involução de $R$ é a relação inversa $R^{\circ }$ : $yR^{\circ }x$ se e somente se $xRy$ . Interseção de morfismos é (teórica de conjuntos) interseção de relações.

Categorias Regulares e Alegorias

Alegorias de relações em categorias regulares

Em uma categoria $C$ , uma relação entre objetos $X$ e $Y$ é um span de morfismos $X\gets R\to Y$ que é conjuntamente monomórfico. Dois spans como $X\gets S\to Y$ e $X\gets T\to Y$ são considerados equivalentes quando há um isomorfismo entre $S$ e $T$ que faz tudo comutar; falando estritamente, relações são definidas apenas até a equivalência (pode-se formalizar isso usando classes de equivalência ou bicategorias). Se a categoria $C$ possui produtos, uma relação entre $X$ e $Y$ é a mesma coisa que um monomorfismo em $X \times Y$ (ou uma classe de equivalência de tal). Na presença de pullbacks e um sistema de fatorização apropriado, pode-se definir a composição de relações. A composição $X\gets R\to Y\gets S\to Z$ é encontrada primeiro puxando o cospan $R\to Y\gets S$ e depois tomando a imagem conjuntamente monomórfica do span resultante $X\gets R\gets \bullet \to S\to Z.$

A composição de relações será associativa se o sistema de fatorização for apropriadamente estável. Neste caso, pode-se considerar uma categoria $Rel(C)$ , com os mesmos objetos que $C$ , mas onde morfismos são relações entre os objetos. As relações identidade são as diagonais $X\to X\times X.$

Uma categoria regular (uma categoria com limites finitos e imagens nas quais as coberturas são estáveis sob pullback) possui um sistema de fatorização regular epi/mono estável. A categoria de relações para uma categoria regular é sempre uma alegoria. A anti-involução é definida invertendo a fonte/destino da relação, e as interseções são interseções de subobjetos, calculadas por pullback.

Mapas em alegorias e tabulações

Um morfismo $R$ em uma alegoria $A$ é chamado de mapa se for completo $(1\subseteq R^{\circ }R)$ e determinístico $(RR^{\circ }\subseteq 1).$ Outra maneira de dizer isso é que um mapa é um morfismo que tem um adjunto à direita em $A$ quando $A$ é considerado, usando a estrutura de ordem local, como uma 2-categoria. Mapas em uma alegoria são fechados sob identidade e composição. Assim, existe uma subcategoria $Map(A)$ de $A$ com os mesmos objetos, mas apenas os mapas como morfismos. Para uma categoria regular $C$ , existe um isomorfismo de categorias $C\cong \operatorname {Map} (\operatorname {Rel} (C)).$ Em particular, um morfismo em $Map(Rel(Set))$ é apenas uma função de conjunto set function comum.

Em uma alegoria, um morfismo $R\colon X\to Y$ é tabulado por um par de mapas $f\colon Z\to X$ e $g\colon Z\to Y$ se $gf^{\circ }=R$ e $f^{\circ }f\cap g^{\circ }g=1.$ Uma alegoria é chamada de tabular se todo morfismo tiver uma tabulação. Para uma categoria regular $C$ , a alegoria $Rel(C)$ é sempre tabular. Por outro lado, para qualquer alegoria tabular $A$ , a categoria $Map(A)$ de mapas é uma categoria localmente regular: possui pullbacks, equalizadores, e imagens que são estáveis sob pullback. Isso é suficiente para estudar relações em $Map(A)$ , e nesse contexto, $A\cong \operatorname {Rel} (\operatorname {Map} (A)).$

Alegorias Unitais e Categorias Regulares de Mapas

Uma unidade em uma alegoria é um objeto $U$ para o qual a identidade é o maior morfismo $U\to U,$ e tal que de todo outro objeto, existe uma relação completa para $U$ . Uma alegoria com uma unidade é chamada de unital. Dada uma alegoria tabular $A$ , a categoria $Map(A)$ é uma categoria regular (ela tem um objeto terminal) se e somente se $A$ é unital.

Tipos Mais Sofisticados de Alegoria

Propriedades adicionais de alegorias podem ser axiomatizadas. Alegorias Distributivas têm uma operação semelhante à união que é adequadamente bem-comportada, e alegorias de divisão têm uma generalização da operação de divisão da álgebra de relações. Alegorias de Potência são alegorias distributivas de divisão com estrutura adicional semelhante a conjunto das partes. A conexão entre alegorias e categorias regulares pode ser desenvolvida em uma conexão entre alegorias de potência e toposes.

Bibliografia

Peter Freyd, Andre Scedrov (1990). Categories, Allegories. Col: Mathematical Library Vol 39. [S.l.]: North-Holland. ISBN 978-0-444-70368-2
Peter Johnstone (2003). Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Col: Oxford Science Publications. [S.l.]: OUP. ISBN 0-19-852496-X