Constantes trigonométricas exatas
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Expressões algébricas exatas para valores trigonométricos são algumas vezes úteis, principalmente por simplificar soluções em formas de raízes que permitem uma maior simplificação.
Todos os valores dos senos, cossenos e tangentes de ângulos em incrementos de 3° são deriváveis em radiciações usando-se identidades — a identidade de meio ângulo, a identidade de dobro de ângulo e a identidade de adição e subtração de ângulos — e usando-se valores para 0°, 30°, 36° e 45°. Note-se que 1° = π/180 radianos.
De acordo com o teorema de Niven, os únicos valores racionais da função seno para o qual o argumento é um número racional de graus são 0, 1/2, 1, -1/2, e -1.
Número de Fermat
[editar | editar código-fonte]A lista neste artigo é incompleta em pelo menos dois sentidos. Primeiro, sempre é possível aplicar a fórmula ao semi-ângulo para encontrar uma expressão exata para o cosseno de uma metade de qualquer ângulo na lista, e em seguida, a metade desse ângulo, etc. Em segundo lugar, este artigo explora apenas o primeiro dois dos cinco números primos de Fermat conhecidos: 3 e 5, enquanto também existem expressões algébricas para as funções de 2π/17, 2π/257 e 2π/65537. Na prática, todos os valores de senos, cossenos e tangentes não encontradas neste artigo são aproximadas utilizando as técnicas descritas no artigo tabelas trigonométricas.
Tabela de constante
[editar | editar código-fonte]Referências
- Weisstein, Eric W. «Constructible polygon». MathWorld (em inglês)
- Weisstein, Eric W. «Trigonometry angles». MathWorld (em inglês)
- π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
- π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
- π/5 (36°) — π/10 (18°) — π/20 (9°)
- π/7 — π/14
- π/9 (20°) — π/18 (10°)
- π/11
- π/13
- π/15 (12°) — π/30 (6°)
- π/17
- π/19
- π/23
- Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). «Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of zeta(3)/pi^3». Int. J. Quantum Chemistry. 90 (1): 42–53. doi:10.1002/qua.1803
- Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1998). «On angles whose squared trigonometric functions are rational». arXiv:math-ph/9812019
- Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1999). «On angles whose squared trigonometric functions are rational». Disc. and Comp. Geom. 22 (3): 321–332. MR 1706614. doi:10.1007/PL00009463
- Girstmair, Kurt (1997). «Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n». Acta Arithmetica. 81: 387–398. MR 1472818
- Gurak, S. (2006). «On the minimal polynomial of gauss periods for prime powers». Mathematics of Computation. 75 (256): 2021–2035. Bibcode:2006MaCom..75.2021G. MR 2240647. doi:10.1090/S0025-5718-06-01885-0
- Servi, L. D. (2003). «Nested square roots of 2». Am. Math. Monthly. 110 (4): 326–330. JSTOR 3647881. MR 1984573. doi:10.2307/3647881