Curva de Bézier

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Exemplo de uma curva de Bézier cúbica

A curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Illustrator, Freehand, Fireworks, GIMP, Photoshop, Processing, Inkscape e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. Esse tipo de curva também pode originar Superfícies de Bézier, bastante utilizadas em modelagem tridimensional, animações, design de produtos, engenharia, arquitetura entre outras aplicações.

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi estruturada a partir do algoritmo de Paul de Casteljau, da Citroën, em 1957, e foi formalizada na década de 60.[1]

Descrição[editar | editar código-fonte]

Animação de uma curva de Bézier linear, t em [0,1]
Animação de uma curva de Bézier quadrática, t em [0,1]
Animação de uma curva de Bézier cúbica, t em [0,1]

A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de:

{\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\!.\;\;x = t\;,\;y = (1-t)

O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos n+1 pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar. \scriptstyle {n \choose i} são coeficientes binomiais. Por exemplo, para a resolução de (t + (1-t))^2 usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio (t + (1-t))^3 usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle B_i podem ser escolhidos aleatóriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é um polinômio da forma:

P_{in}(t) = {n \choose i}(1-t)^{n-i}t^i

Um ponto na curva correspondente a t é dado por:

{B}(t)=\sum^{n}_{i=0}P_{in}(t)*{B}_i=\sum_{i=0}^n{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^i*{B}_i

Em que o número de pontos de controle é n mais 1, t assume um valor tal que  t \in \Re, 0 \le t \le 1, B_i é o i-ésimo ponto de controle. É importante salientar que todos os pontos da curva devem estar dentro da região delimitada pelos seus pontos de controle, seu fecho convexo.[2]

Curva de Bézier Linear[editar | editar código-fonte]

\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{B}_0 + t\mathbf{B}_1 \mbox{ , } t \in [0,1]

Curva de Bézier Quadrática[editar | editar código-fonte]

\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{B}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{B}_1 + t^{2}\mathbf{B}_2 \mbox{ , } t \in [0,1].

Curva de Bézier Cúbica[editar | editar código-fonte]

\mathbf{B}(t)=(1-t)^3\mathbf{B}_0+3t(1-t)^2\mathbf{B}_1+3t^2(1-t)\mathbf{B}_2+t^3\mathbf{B}_3 \mbox{ , } t \in [0,1].

Referências

  1. Teoria Local das Curvas, Roberto Simoni (2005), p. 53, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
  2. Wolfram Mathworld, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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