Curva de Bézier

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Exemplo de uma curva de Bézier cúbica[1]

A curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Illustrator, Freehand, Fireworks, GIMP, Photoshop, Processing, Inkscape e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. Esse tipo de curva também pode originar Superfícies de Bézier, bastante utilizadas em modelagem tridimensional, animações, design de produtos, engenharia, arquitetura entre outras aplicações.

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi estruturada a partir do algoritmo de Paul de Casteljau, da Citroën, em 1957, e foi formalizada na década de 60.[2]

Descrição[editar | editar código-fonte]

Animação de uma curva de Bézier linear, t em [0,1]
Animação de uma curva de Bézier quadrática, t em [0,1]
Animação de uma curva de Bézier cúbica, t em [0,1]

A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de:

O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar. são coeficientes binomiais. Por exemplo, para a resolução de usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle podem ser escolhidos aleatoriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é um polinômio da forma:

Um ponto na curva correspondente a t é dado por:

Em que o número de pontos de controle é n mais 1, t assume um valor tal que , é o i-ésimo ponto de controle. É importante salientar que todos os pontos da curva devem estar dentro da região delimitada pelos seus pontos de controle, seu fecho convexo.[3]

Curva de Bézier Linear[editar | editar código-fonte]

Curva de Bézier Quadrática[editar | editar código-fonte]

Curva de Bézier Cúbica[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 
  2. Teoria Local das Curvas, Roberto Simoni (2005), p. 53, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
  3. Wolfram Mathworld, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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