Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período.

Dízima periódica simples

Numa dízima periódica simplllles, o período aparece imediatamente após a vírgula.

Exemplos:

0,444444…

0,5125125125…

0,68686868…

0,354235423542..

Dízima periódica composta

Na dízima periódica composta, há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entra na composição do período.

Exemplos:

• 0,72222222…
• 0,58444444…
• 0,15262626…

Exemplos e notação

A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:

• ${\frac {1}{3^{4}}}=0,012345679012345679\ldots$
• ${\frac {1}{3}}=0,333333333333\ldots$
• ${\frac {1}{7}}=0,142857142857\ldots$
• ${\frac {1}{9}}=0,111111111111\ldots$

Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:

• ${\frac {1}{3^{4}}}=0,{\overline {012345679}}\ldots$
• ${\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}\ldots$
• ${\frac {1}{9}}=0,{\overline {1}}\ldots$
• ${\frac {1}{3}}=0,{\overline {3}}\ldots$

Fração geratriz de uma dízima periódica simples

Toda dízima periódica representa um número racional, isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.

Exemplo

Seja a dízima $x=1,2535353535\ldots \,$. Observamos a repetição do termo 35 formado por dois algarismos, tomamos então o número $100x\,$:

$100x=125,3535353535\ldots \,$

Se subtraírmos $x\,$ de $100x\,$ temos:

${\begin{array}{rcr}100x&=&125,3535353535\ldots \\x&=&1,2535353535\ldots \\99x&=&124,100000\ldots \end{array}}$

Assim, concluímos que $x={\frac {124,1}{99}}={\frac {1241}{990}}$

O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

A geratriz de uma dízima períodica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, juntamente do período e diminuido do ante-período e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anti-período. Se a dízima possui parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Ex.: Achar a geratriz de:

0,14275275275...

Ante-período=14: número de algarismos=2 (00) Período=275: número de algarismos=3 (999)

Se fizermos ${\frac {14275-14}{99900}}\,$, dará ${\frac {14261}{99900}}\,$

Ver também

• 0,999...
• Sistema decimal
• Série geométrica
• Série (matemática)