Desigualdade de Chebyshev

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Em matemática, a desigualdade de Chebyshev, também conhecida por desigualdade de Bienaymé-Chebyshev, é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema, e ao estatístico francês Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de medida, uma função mensurável, uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:

Um caso particular de especial interesse acontece quando substituímos por e tomamos como :

Se representa uma distribuição de probabilidades com média Falhou a verificação gramatical (MathML, com SVG ou PNG em alternativa (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "/mathoid/local/v1/":): \mu\, e desvio padrão então:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina e seja a função indicadora de em . Então:

E, portanto:

E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por .