Espaço dual: diferenças entre revisões
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Quando ''V'' é um [[espaço vetorial topológico]], considera-se o espaço dos funcionais lineares [[função contínua|contínuos]]. |
Quando ''V'' é um [[espaço vetorial topológico]], considera-se o espaço dos funcionais lineares [[função contínua|contínuos]]. |
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==Espaço dual algébrico== |
== Espaço dual algébrico == |
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===O espaço dual é um espaço vetorial=== |
=== O espaço dual é um espaço vetorial === |
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O espaço dual de um espaço vetorial <math>V\,</math> sobre um corpo <math>K\,</math> é costumeiramente denotado <math>V'\,</math> ou <math>V^*\,</math> e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como: |
O espaço dual de um espaço vetorial <math>V\,</math> sobre um corpo <math>K\,</math> é costumeiramente denotado <math>V'\,</math> ou <math>V^*\,</math> e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como: |
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:<math> (\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,</math> |
:<math> (\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,</math> |
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Para todo <math>\phi, \psi</math> em <math>V^*</math>, <math>a</math> em <math>K</math> e <math>x</math> em <math>V</math>. |
Para todo <math>\phi, \psi</math> em <math>V^*</math>, <math>a</math> em <math>K</math> e <math>x</math> em <math>V</math>. |
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===Caso de dimensão finita=== |
=== Caso de dimensão finita === |
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Se ''V'' é um [[Espaço vetorial]] de dimensão finita, então ''V*'' tem a mesma dimensão de ''V''. |
Se ''V'' é um [[Espaço vetorial]] de dimensão finita, então ''V*'' tem a mesma dimensão de ''V''. |
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Seja <math>\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}</math> uma base de ''V'', então a ''base dual'' é dada pelo conjunto <math>\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}</math> onde: |
Seja <math>\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}</math> uma base de ''V'', então a ''base dual'' é dada pelo conjunto <math>\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}</math> onde: |
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==O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço== |
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Seja <math>H\,</math> um [[espaço de Hilbert]]. O [[teorema da representação de Riesz]] afirma que se <math>f\,</math> é um funcional linear contínuo então existe um <math>v\in H\,</math> tal que: |
Seja <math>H\,</math> um [[espaço de Hilbert]]. O [[teorema da representação de Riesz]] afirma que se <math>f\,</math> é um funcional linear contínuo então existe um <math>v\in H\,</math> tal que: |
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:<math>f(x)= \langle v, x \rangle,~~\forall x\in H\,</math>. |
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Revisão das 03h01min de 9 de fevereiro de 2012
Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares .
Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.
Espaço dual algébrico
O espaço dual é um espaço vetorial
O espaço dual de um espaço vetorial sobre um corpo é costumeiramente denotado ou e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:
Para todo em , em e em .
Caso de dimensão finita
Se V é um Espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto onde:
O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço
Seja um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se é um funcional linear contínuo então existe um tal que:
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