Percurso livre médio

Movimento Browniano de uma partícula em duas dimensões.

Em mecânica estatística e teoria cinética dos gases, se define como percurso livre médio (ou livre caminho médio) à distância média ou espaço médio percorrido entre duas colisões sucessivas das moléculas de um gás. Essa teoria também é válida para fótons ou átomos. Recordamos que num gás, suas moléculas estão em constante movimento chocando-se umas com as outras. A temperatura do gás é função da energia cinética destas. Pode-se pensar na existência do livre caminho médio imaginando que um frasco de perfume é aberto de um lado de uma sala. A 300 kelvin, a raiz da velocidade quadrática média das moléculas de ar é de 432 metros por segundo. Entretanto sabemos que o perfume leva um tempo muito maior do que o tempo mínimo necessário para percorrer o comprimento da sala nessa velocidade (e em alguns casos nem chega ao outro lado). Esse fato ocorre, pois temos colisões aleatórias. Como podemos ver na figura ao lado, estamos analisando a distância média entre as trocas de direções da partícula (ilustrada pelo movimento browniano.

Cálculo do percurso livre médio

O percurso livre médio é calculado multiplicando-se a velocidade média das partículas do gás pelo tempo entre as colisões:

$\ell =vt\,$

sendo v a velocidade média das moléculas que será proporcional à raiz quadrada da temperatura e inversamente proporcional à raiz da massa da molécula e t o tempo médio entre colisões o qual depende fundamentalmente da densidade do gás.

Se pode estimar mediante a expressão:

$\ell ={\frac {1}{n\sigma }}$

Onde n é o número de moléculas por unidade de volume e σ é a seção eficaz de dispersão.

Percurso livre médio na teoria cinética dos gases

O choque de duas moléculas de raio "r" e diâmetro "d" pode ser aproximado por uma molécula com diâmetro "2d" e outras puntuais. Abaixo um cilindro varrido por essa molécula em um certo intervalo de tempo.

Na teoria cinética dos gases, o percurso livre médio de uma partícula, tal como uma molécula, é a distância média que a partícula percorre entre colisões com outras partículas em movimento. A fórmula $\ell =(n\sigma )^{-1},$ ainda sustenta-se para uma partícula com uma alta velocidade relativa às velocidades de um conjunto de partículas idênticas com localizações aleatórias. Se, por outro lado, as velocidades das partículas idênticas tem uma distribuição de Maxwell de velocidades, a seguinte relação se aplica:

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}.\,$

Outra maneira de perceber o percurso livre médio, é imaginar duas moléculas chocando-se (figura ao lado). Cada molécula possui raio $r$ e diâmetro $d$. Para ocorrer uma colisão, precisamos que os centros das duas moléculas estejam a uma distância igual ao diâmetro. Nessa hora fazemos uma simplificação e afirmamos que apenas uma molécula com raio igual ao diâmetro está se movendo (uma molécula de raio $2r$), enquanto todas as outras são puntuais. Nesse caso quando a molécula em questão move-se por um certo período de tempo $t$, vare um cilindro com volume igual a $d^{2}\pi v\Delta t$. O número de moléculas no interior deste cilindro é igual ao número de colisões, logo multiplicando o resultado anterior por $n/V$ que representa a concentração de moléculas,onde $n$ é o número de moléculas e $V$ volume total, obtemos o número de colisões. Sendo $v\Delta t$ a distância percorrida, escrevemos:

$\ell ={\frac {v\Delta t}{d^{2}\pi v\Delta t{\frac {n}{V}}}}={\frac {1}{d^{2}\pi {\frac {n}{V}}}}$

Percebe-se que $\ell$ é inversamente proporcional a $n/V$, ao quadrado do diâmetro da molécula, $d^{2}$. O fator quadrado deriva da seção de choque. Para retirar a aproximação de que apenas uma molécula está em movimento acrescentamos um fator ${\sqrt {2}}$ proveniente da distribuição de Boltzmann e finalmente obtemos:

$\ell ={\frac {1}{{\sqrt {2}}d^{2}\pi {\frac {n}{V}}}}$

Percurso livre médio em física nuclear

Modelos de partículas independentes em física nuclear exigem uma órbita imperturbável de um nucleon antes de interagir com outros núcleos. Blatt e Victor Weisskopf , no seu livro de 1952 "Theoretical Nuclear Physics" (pág. 778) escreveu "O percurso livre médio eficaz de um núcleon em matéria nuclear deve ser um pouco maior do que as dimensões nucleares, a fim de permitir a utilização do modelo de partícula independente . Este requisito parece estar em contradição com as suposições feitas na teoria ... Estamos enfrentando aqui um dos problemas fundamentais da física nuclear estrutura que ainda tem de ser resolvido. " (Citado por Norman D. Cook em "Modelos do núcleo atômico" Ed.2 (2010) Springer, no capítulo 5, "O percurso livre médio de Nucleons em núcleos").

Percurso livre médio na óptica

Se alguém toma uma suspensão de luz não absorvendo partículas de diâmetro d, com uma fração Φ volume, o caminho livre médio dos fótons é:

$\ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{s}}}$

onde $Q_{s}$ o fator de eficiência de dispersão. $Q_{s}$ pode ser simplificada numericamente por partículas esféricas, graças à teoria de Mie.

Percurso livre médio na acústica

Em uma cavidade vazia, o percurso livre médio de uma única partícula saindo de suas paredes é:

$\ell ={\frac {4V}{S}}$

onde $V$ é o volume da cavidade e $S$ é a área da superfície total, dentro da cavidade. Esta relação é utilizada na derivação da fórmula de Sabine em acústica, usando uma aproximação geométrica de propagação do som.

Exemplos

Uma aplicação clássica do percurso livre médio é estimar o tamanho dos átomos ou moléculas. Outra aplicação importante é estimar a resistividade de um material a partir do percurso livre médio dos seus elétrons .

Por exemplo, para as ondas sonoras em um recinto, o caminho livre médio é a distância média da onda entre as reflexões nas paredes da sala.

Pode-se também definir a opacidade de um material através da distância média que um fóton viaja (livre percurso médio) em um meio antes de sua absorção ou dispersão.

A preparação de amostras de alta qualidade analisadas no microscópio eletrônico de transmissão depende do percurso livre médio.

O livre percurso médio, também se mostra útil na determinação da massa crítica (a quantidade de massa necessária para manter uma reacção nuclear em cadeia autossustentada).

Bibliografia

• REIF, F.: Física Estadística (Berkeley Physics Course, volumen 5). Editorial Reverté, 1993.
• CASTILLO GIMENO, J. L. y GARCÍA YBARRA, P. L.: Introducción a la Termodinámica Estadística mediante problemas. Editado por la UNED, octubre 2000.

Ver também

• Teoria cinética
• Vácuo
• Opacidade
• Massa crítica
• Difusão de Bohm
• Microscópio eletrônico de transmissão
• Seção de choque
• Rudolf Clausius
• Plasma de quarks e glúons

Ligações externas

• POSTULADOS FÍSICA ESTATÍSTICA de www.netfis.tecnico.edu
• Notas de Aula de Física - Prof. Romero Tavares da Silva - www.fisica.ufpb.br
• Percurso Livre Médio - www.df.fct.unl.pt