Combinação linear

Em álgebra linear, uma combinação linear de um conjunto S de vectores de um espaço vectorial V sobre um corpo K é uma soma finita

$a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}$

onde $v_{1},\ldots ,v_{n}\in S$ e $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$.

Uma forma equivalente de definir a combinação linear é qualquer soma $\sum _{v\in S}a_{v}\ v\,$, desde que a função $a:S\mapsto K\,$ tenha suporte finito, ou seja, $a^{-1}(K-\{0\})\,$ seja um conjunto finito.

Conceitos relacionados

O conceito de combinação linear é central na álgebra linear do qual dependem vários outros conceitos.

• O espaço vectorial gerado por um conjunto de vectores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vectores.

• Um conjunto S de vectores diz-se linearmente dependente se o vector nulo é uma combinação linear de vectores de S com alguns escalares diferentes de zero.

• Reciprocamente, um conjunto S de vectores é linearmente independente quando a única combinação linear de S que gera o vector zero é aquela formada por coeficientes zero, ou seja,

$\forall a:S\mapsto K\ {\mbox{ de suporte finito }},\sum _{v\in S}a_{v}\ v=0\rightarrow \forall v,a_{v}=0\,$

Propriedades

• Uma combinação linear de combinações lineares também é uma combinação linear. Em outras palavras, seja S um conjunto (não-vazio) de vectores, seja S₁ um conjunto (não-vazio) em que cada elemento é uma combinação linear de vectores de S e seja v uma combinação linear de vectores de S₁. Então v é uma combinação linear de vectores de S.

Ver também

• Base