Teorema de Arzelà-Ascoli: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], o '''teorema de Arzelà-Ascoli''' é um importante resultado, com aplicações na [[análise real]], [[análise funcional]] e em áreas afins tais como a teoria das [[equação diferencial|equações diferenciais]]. Provém dos matemáticos italianos [[Cesare Arzelà]] e [[Giulio Ascoli]]. |
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Revisão das 22h23min de 14 de novembro de 2017
Em matemática, o teorema de Arzelà-Ascoli é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli.
Enunciado da versão real
Seja uma sequência de funções com as seguintes propriedades:
- Equicontinuidade, ou seja, para cada e cada no domínio, existe um tal que
- Equilimitação, ou seja, existe uma constante tal que
Então existe uma subseqüência e uma função contínua tal que converge uniformemente para .
De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
Considere uma sequência de funções contínuas definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é uniformemente limitada e equicontínua, então existe uma subsequência que converge uniformemente.
Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.