Linha 48:
Linha 48:
[[Categoria:Topologia diferencial]]
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[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:funções matemáticas|suave]]
[[de:Glatte Funktion]]
[[de:Glatte Funktion]]
Na análise matemática e topologia diferencial , as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas .
A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.
Definição para funções reais de uma variável
Seja
f
:
D
→
R
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}
um função com domínio
D
⊆
R
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \,}
, entao:
f
{\displaystyle f\,}
é dita ser de classe
C
0
(
D
,
R
)
{\displaystyle C^{0}(D,\mathbb {R} )\,}
se for uma função contínua .
f
{\displaystyle f\,}
é dita ser de classe
C
n
(
D
,
R
)
{\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} )\,}
se sua enésima derivada for uma função contínua .
f
{\displaystyle f\,}
é dita ser suave ou de classe
C
∞
(
D
,
R
)
{\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} )\,}
for de classe
C
∞
(
D
,
R
)
{\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} )\,}
para todo
n
{\displaystyle n\,}
f
{\displaystyle f\,}
é dita ser analítica ou de classe
C
ω
(
D
,
R
)
{\displaystyle C^{\omega }(D,\mathbb {R} )\,}
se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.
Definições para funções de várias variáveis
Seja
f
:
D
→
R
m
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{m}\,}
um função com domínio
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,}
f
{\displaystyle f\,}
é dita ser de classe
C
0
(
D
,
R
n
)
{\displaystyle C^{0}(D,\mathbb {R} ^{n})\,}
se for uma função contínua .
f
{\displaystyle f\,}
é dita ser de classe
C
n
(
D
,
R
n
)
{\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})\,}
se todas as suas derivadas parciais de ordem até
n
{\displaystyle n\,}
forem funções contínuas .
f
{\displaystyle f\,}
é dita ser suave ou de classe
C
∞
(
D
,
R
n
)
{\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} ^{n})\,}
for de classe
C
∞
(
D
,
R
n
)
{\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} ^{n})\,}
para todo
n
{\displaystyle n\,}
Exemplos
A função f (x )=x para x ≥0 e 0 caso contrário.
A função f (x )=x 2 sin(1/x ) para x >0.
Um função suave não analítica.
A função
f
(
x
)
=
{
x
se
x
≥
0
,
0
se
x
<
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0,\\0&{\mbox{se }}x<0\end{cases}}}
é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe
C
0
{\displaystyle C^{0}\,}
mas não de classe
C
1
{\displaystyle C^{1}\,}
.
A função
f
(
x
)
=
{
x
2
sin
1
/
x
se
x
≠
0
,
0
se
x
=
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0\end{cases}}}
é diferenciável, com derivada
f
′
(
x
)
=
{
2
x
sin
1
/
x
−
cos
1
/
x
se
x
≠
0
,
0
se
x
=
0.
{\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x\sin {1/x}-\cos {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0.\end{cases}}}
Como
cos
(
1
/
x
)
{\displaystyle \cos(1/x)\,}
oscila quando
x
{\displaystyle x}
se aproxima de zero,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
não é contínua na origem. Portanto, esta função é diferenciável mas não é de classe C1 .
A função
f
(
x
)
=
{
e
−
1
/
(
1
−
x
2
)
if
|
x
|
<
1
,
0
caso contrario
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ if }}|x|<1,\\0&{\mbox{ caso contrario }}\end{cases}}}
é suave, e portanto de classe
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }\,}
, mas não é analítica , portanto não é de classe
C
ω
{\displaystyle C^{\omega }\,}
A função exponencial é analítica e, portanto, de classe
C
ω
{\displaystyle C^{\omega }}
.
Ver também