Teorema de Liouville

O teorema de Liouville é um teorema de análise complexa que diz que uma função complexa inteira e limitada é constante. Este teorema permite demonstrar o teorema fundamental da álgebra de forma simples.

Demonstração

Suponhamos que f(z) é inteira, e que |f(z)|≤ M para todo o z pertencente a C. Como f(z) é inteira então é analítica em C. Logo pelo Teorema da majoração de Cauchy temos que, numa bola de raio r centrada na origem |f'(z)|< M/r. Novamente, como f(z) é inteira, pode ser representada pela sua série de Taylor convergente e o seu raio de convergência é +∞, logo podemos ter r →∞. Assim, |f'(z)|=0 donde f'(z)=0. Logo f(z) é constante.