Fórmula de Cauchy para integrações repetidas

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A Fórmula de Cauchy para integrações repetidas ou sucessivas, enunciada por Augustin Louis Cauchy, permite compactar n antidiferenciações de uma função em uma integral simples (cf. Fórmula de Cauchy).

Caso escalar[editar | editar código-fonte]

Seja ƒ uma função contínua na reta real. Então a n-ésima antiderivada de ƒ,

f^{(-n)}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1,

é dada pela simples integração

f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-y\right)^{n-1} f(y)\,dy.

Uma prova é dada por indução. Desde que ƒ seja contínua, o caso mais simples é dado por

\frac{d}{dx} f^{(-1)}(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(y)\,dy = f(x).

Um pequeno trabalho demonstra também

\frac{d}{dx}f^{(-n)}(x) = \frac{d}{dx}\frac{1}{(n-1)!} \int_a^x \left(x-y\right)^{n-1} f(y) \, dy = f^{[n-1]}(x).

Portanto, ƒ(-n)(x) resulta na n-ésima antiderivada de ƒ(x).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]