Funções elípticas de Jacobi

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As funções elípticas de Jacobi, introduzidas pelo matemático prussiano Carl Gustav Jakob Jacobi por volta de 1830, são um conjunto de funções elípticas e funções teta, que tem importância histórica, além de possuirem várias aplicações (como na solução da equação do pêndulo).

As funções elípticas tem várias analogias com as funções trigonométricas, inclusive a notação (sn, cn, etc) tem analogia com a trigonometria (sin e cos).

História[editar | editar código-fonte]

A origem destas funções está na integral elíptica, uma classe de integrais onde o argumento a ser integrado contém a raiz quadrada de um polinômio do terceiro ou quarto grau.[1] A solução destas integrais pode ser obtida a partir de integrais onde aparece a expressão \sqrt{1 - c^2 sin^2 \theta}\,, as integrais elípticas de primeira, segunda e terceira espécie.[2] [3] O nome integral elíptica[Nota 1] deriva de que a integral elíptica de segunda espécie pode ser usada para calcular o comprimento do arco sobre uma elipse.[4]

Estas integrais foram estudadas por Legendre, [5] porém Abel e, mais tarde, Jacobi, estudaram estas integrais através da inversão do seu argumento, ou seja, eles obtiveram as funções elípticas após a inversão das integrais elípticas.[5] [6]

As funções elípticas foram definidas a partir da integral elíptica de primeira espécie u, como sendo funções de u e do módulo k. O ângulo φ foi chamado de argumento, representado como am(u, k), e as funções elípticas como sin am(u, k), cos am(u, k) e Δ am(u, k).[7] As expressões sin am u, cos am u e Δ am u foram simplificadas[quem?] para sn, cn e dn, respectivamente.[8]

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja

u = F(\phi, k) = \int_0^x \frac {dz} {\sqrt{(1 - z^2)(1 - k^2 z^2)}} = \int_0^\phi \frac {d\theta} { \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}\,

onde k < 1 e x = \sin \phi\,; φ é a amplitude de u e é escrito como am(u, mod k)\,, ou, de forma mais simples, am(u); x = \sin \phi\, [9]

A função elíptica sn é definida como:[9]

sn(u) = sen(φ) = x

Analogamente, temos:[9]

cn(u) = \cos(\phi) = \sqrt{1 - x^2}\,
dn(u) = \Delta n u = \Delta \phi = \sqrt{1 - k^2 x^2}\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As funções elípticas tem, em comum com as funções trigonométricas e a função exponencial complexa, o fato de serem funções periódicas. Enquanto o seno e o cosseno tem período 2 \pi\, e a função exponencial tem período 2 i \pi\,, as funções elípticas tem dois períodos, ou seja, são duplamente periódicas. Um dos períodos é real, e o outro é imaginário.[7]

Os períodos são calculados a partir da função F [Nota 2] definida acima:

F(\phi, k) = \int_0^x \frac {dz} {\sqrt{(1 - z^2)(1 - k^2 z^2)}}\,

e dos valores K e K' :

K = F(\frac{1}{2} \pi, k)\,
K' = F(\frac{1}{2} \pi, k')\, para k' = \sqrt{1 - k^2}\,

e satisfazem:[9]

sn(u + 4 K) = sn(u)\,
cn(u + 4 K) = cn(u)\,
dn(u + 2 K) = dn(u)\,
sn(u + 2 i K') = sn(u)\, [Nota 3]
cn(u + 4 i K') = cn(u)\, [Nota 4]
dn(u + 2 i K') = dn(u)\,[Nota 5]

Notas e referências

Notas

  1. No texto de Hymers, as integrais elípticas também são chamadas de funções elípticas.
  2. F é a integral elíptica de primeira espécie.
  3. A fórmula para o período imaginário da função sn no texto de Peirce não está explícita, mas pode ser facilmente deduzida (equação 742, m = 0 e n = 2).
  4. A fórmula para o período imaginário da função cn no texto de Peirce não está explícita, mas pode ser facilmente deduzida (equação 743, m = 0 e n = 2).
  5. A fórmula para o período imaginário da função dn no texto de Peirce não está explícita, mas pode ser facilmente deduzida (equação 744, m = 0 e n = 2).

Referências

  1. Augustus De Morgan, The Differential and Integral Calculus Containing Differentiation, Integration... (1842), p.656 [google books]
  2. De Morgan, p.657
  3. John Hymers, A treatise on the Integral Calculus (1835), Section IX, Elliptic Functions, p.183 [google books]
  4. Hymers, p.182
  5. a b Florian Cajoli, A History of Mathematics (1894), p.407 [em linha]
  6. Henry Frederick Baker, Abelian Functions: Abel's Theorem and the Allied Theory of Theta Functions (1897), Chapter IX, Jacobi's inversion problem, p.235
  7. a b William Thomas Brande, George William Cox Longmans, Green, and Company, A Dictionary of Science, Literature, & Art: Comprising the Definitions and Derivations of the Scientific Terms in General Use, Together with the History and Descriptions of the Scientific Principles of Nearly Every Branch of Human Knowledge, Volume 1 (1872), p.767s [google books]
  8. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Volumes 1-2 (1928), p.274 [google books]
  9. a b c d Benjamin Osgood Peirce, A Short Table of Integrals (1899), C. - Elliptic Functions, p.84ss [google books]