Métodos de integração

Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

gabrielaaaaaaa

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis $u=g(x)$, onde $g(x)$ é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo $du=g'(x)dx$:

$\int f(u)du$

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e criatividade.

Substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:

$\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},{\sqrt {a^{2}+x^{2}}},{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$

Neste caso, as substituições adequadas são:

${\begin{matrix}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\qquad &x=a\sin u\quad &dx=a\cos u\,du\quad &{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos u\\{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\qquad &x=a\tan u\quad &dx=a\sec ^{2}u\,du\quad &{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec u\\{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\qquad &x=a\sec u\quad &dx=a\sec u\tan u\,du\quad &{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a\tan u\end{matrix}}$

Passos para a integração:.
Passo 1: Faça uma escolha para $u$. Ex.: $u=g(x)$.
Passo 2: Calcule $du/dx=g'(x)$.
Passo 3: Faça a substituição $u=g(x)$, $du=g'(x)dx$. Neste ponto a integral deve estar em termos de $u$. Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para $u$.
Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Substituir $u$ por $g(x)$; assim, a resposta final estará em termos de $x$.

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Exemplo Considere a integral $\int {\sqrt {16-x^{2}}}dx$ usando a substituição $x=4Sen\theta \$, obtem-se $dx=4Cos\theta \ d\theta \$

$\int {\sqrt {16(1-Sen^{2}\theta )}}4\ Cos\theta \ d\theta$

$16\int \ Cos^{2}\theta \ d\theta$

A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

$u=Cos\theta ,dv=Cos\theta \$

$\int Cos^{2}\theta \ d\theta =Cos\theta \ Sen\theta +\int Sen^{2}\theta \ d\theta$

$\int Cos^{2}\theta \ d\theta =Cos\theta \ Sen\theta +\int 1\ d\theta -\int Cos^{2}\theta \ d\theta$

$\int Cos^{2}\theta \ d\theta ={\frac {Cos\theta \ Sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}$

Voltando a equação original

$16\int Cos^{2}\theta \ d\theta =16({\frac {Cos\theta \ Sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}})$

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo $\theta$ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a $\theta$ igual a $x$, conseqüentemente o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ valerá ${\sqrt {16-x^{2}}}$. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

$Cos\theta ={\frac {\sqrt {16-x^{2}}}{4}}$

$Sen\theta ={\frac {x}{4}}$

O ângulo $\theta$ pode ser expresso como$ArcSen{\frac {x}{4}}$ Obtendo assim a resposta final.

Integração por partes

Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que $(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$, com $u$ e $v$ deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:

$\int u(x)v'(x)\,dx=\int (u(x)v(x))'\,dx-\int v(x)u'(x)\,dx$

$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$

$\int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du$, que é a fórmula da integração por partes.

Com um intervalo de integração definido em $[a,b]$, com derivadas continuas fica-se com:

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}u(x)v(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x$

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Exemplo de Aplicação:

A escolha das funções $u$ e $v'$ é arbitrário, ela requer prática e intuição. Depois do exemplo em baixo, algumas regras podem ser feitas para ganhar tempo.

$\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x$

se escolhemos $u=\ln(x)$, temos $u'=1/x$ e $v'=x$ tem-se $v=x^{2}/2$, logo :

$\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=2ln(2)-{\frac {1}{2}}\ln(1)-{\frac {3}{4}}$

Por outro lado, se escolhermos $u=x$ temos $u'=1$ e $v'=\ln(x)$ tem-se $v=x\ln(x)-x$, logo :

$\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[x(x\ln(x)-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,\mathrm {d} x$

De reparar que este ultimo integral é mais complicado que o anterior.

Integração por frações parciais

A técnica de frações parciais é muito útil na resolução de integrais do tipo:

$\int {\frac {f(x)}{g(x)h(x)}}\,dx$

A integral pode ser representada por:

$\int {\frac {A}{g(x)}}+{\frac {B}{h(x)}}\,dx$, no qual $A.h(x)+B.g(x)=f(x)$.

Com isso, muitas vezes é possível dividir a integral em duas, onde a resolução de cada uma torna-se mais fácil pela simplicidade obtida no denominador.

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Exemplo de Aplicação:

$I=\int {\frac {1}{x^{2}-5x}}\,dx$

$I=\int {\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-5}}\,dx$

${\frac {(A+B)x-5A}{x^{2}-5x}}={\frac {1}{x^{2}-5x}}$   ∴   $\,(A+B)x-5A=1$

$\left\{{\begin{matrix}A+B=0\\-5A=1\end{matrix}}\right.\quad$   ∴   $\quad A=-{\frac {1}{5}}\,,\quad B={\frac {1}{5}}.$

$I=\int {\frac {-{\frac {1}{5}}}{x}}\,dx+\int {\frac {\frac {1}{5}}{x-5}}\,dx={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {x-5}{x}}\right)+C$. A segunda integral pode ser facilmente resolvida utilizando o método da substituição.