Matriz identidade

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,\!$

Modelo de uma matriz identidade

Matriz identidade, em matemática, é uma matriz quadrada e uma matriz diagonal, cuja função é de ser o elemento neutro, na multiplicação de matrizes. É denotada por I_n (onde n é a ordem da matriz), ou simplesmente por I. A matriz é construída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal têm valor um, e os demais elementos da matriz são zero.

Para qualquer matriz A, as seguintes igualdades são válidas:

$A_{m,n}\cdot I_{n}=A_{m,n}\,\!$

$I_{m}\cdot A_{m,n}=A_{m,n}\,\!$

Uma matriz identidade se apresenta da seguinte forma:

$I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\,\!$

Definição

Uma matriz identidade I é definida por: oieoie :)

$I_{n}={\left(i_{x,y}\right)}_{n}$

$i_{x,y}=\left\{{\begin{matrix}{1}&{,se\ x=y}\\{0}&{,se\ x\neq y}\end{matrix}}\right.\,\!$

Na Psicologia, o termo Matriz de Identidade vem da teoria de personalidade desenvolvida por Jacob Levi Moreno, fundador do Psicodrama Moreniano, modelo clínico de intervenção psicoterapêutica desenvolvido a partir dos anos 20 do século passado. A matriz é a rede de relações afectivas criada entre os indivíduos. Em cada contexto, e ao longo do tempo, o indivíduo vai dependendo de diferentes matrizes. A matriz de identidade é o grupo social onde a criança nasce e do qual depende nos primeiros tempos de vida para a satisfação das suas necessidades fisiológicas, psicológicas e sociais.

Assim, a Matriz de Identidade nasce em Vila Nova de Gaia em Outubro de 2003, matriz de identidade de quem a gera e a baptiza, com o ensejo de, através dela, poder ser contexto básico de acolhimento, de protecção, de apoio e de autonomização para todo/a(s) aquele/a(s) quanto/a(s) com ela se cruzarem, clientes e profissionais das mais diversas áreas.

Actualmente com localização mesmo no coração da cidade de Gaia, oferece serviços clínicos na área da psicologia e acções de formação profissional especializadas, tendo em curso a elaboração do seu Dossier de Acreditação como Entidade Formadora.

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Notações alternativas

Existem outras notações alternativas para se representar uma matriz identidade. São elas:

• A notação de matrizes diagonais: $I_{n}=diag\left(1;1;1;...;1\right)\,\!$
• A notação do Delta de Kronecker: $I_{n}={\left(\delta _{x,y}\right)}_{n}\,\!$

Matriz inversa

Ver artigo principal: Matriz inversa

O conceito de matriz identidade é relacionado ao conceito de matriz inversa. Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

$A\cdot A^{-1}=I\,\!$

A matriz inversa de uma matriz identidade é a própria matriz identidade, ou seja:

$I=I^{-1}\,\!$

Matriz transposta

Ver artigo principal: Matriz transposta

A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

$I=I^{t}\,\!$

Matriz identidade refletida

Multiplicando-se uma matriz qualquer pela matriz identidade refletida há a reflexão horizontal ou vertical da matriz. A matriz identidade refletida possui todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal secundária, que são iguais a 1.

Considerando-se uma matriz A:

$A_{x,y}={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,y}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,y}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{x,1}&a_{x,2}&\cdots &a_{x,y}\\\end{bmatrix}}$

Quando a matriz A é multiplicada pela matriz identidade refletida (com A à esquerda), há reflexão horizontal da matriz A:

$A_{x,y}\cdot R_{y}={\begin{bmatrix}a_{1,y}&a_{1,y-1}&\cdots &a_{1,1}\\a_{2,y}&a_{2,y-1}&\cdots &a_{2,1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{x,y}&a_{x,y-1}&\cdots &a_{x,1}\\\end{bmatrix}}$

Quando a matriz identidade refletida é multiplicada pela matriz A (com A à direita), há reflexão vertical da matriz A:

$R_{x}\cdot A_{x,y}={\begin{bmatrix}a_{x,1}&a_{x,2}&\cdots &a_{x,y}\\a_{x-1,1}&a_{x-1,2}&\cdots &a_{x-1,y}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,y}\\\end{bmatrix}}$

Ver também

• Matriz transposta
• Matriz inversa
• Matriz quadrada
• Matriz diagonal