Modelo de placas de Kirchhoff–Love

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Deformação de uma placa fina, destacando o deslocamento, a superfície média (em vermelho) e a normal à superfície média (em azul)

O modelo de placas de Kirchhoff–Love é um modelo matemático bidimensional usado para determinar tensões e deformações em placas finas submetidas a forças e momentos. É uma extensão do modelo de viga de Euler-Bernoulli, e foi desenvolvido em 1888 por Augustus Edward Hough Love[1] usando premissas de Gustav Kirchhoff, formuladas em 1850. O modelo assume que uma superfície plana média pode ser usada para representar uma placa tridimensional de forma bidimensional.

As seguintes hipóteses cinemáticas são consideradas neste modelo:[2]

  • linhas retas normais à superfície média permanecem retas após a deformação
  • linhas retas normais à superfície média permanecem normais à superfície média após a deformação
  • a espessura da placa permanece a mesma durante a deformação.

Campo de deslocamentos presumido[editar | editar código-fonte]

Seja o vetor posição de um ponto da placa indeformada. Então

Os vetores formam uma base cartesiana com origem na superfície média da placa, e são as corrdenadas cartesianas da superfície média da placa indeformada, e é a coordenada na direção da espessura.

Seja o deslocamento de um ponto da placa expresso por . Então

Este deslocamento pode ser decomposto em uma soma vetorial do deslocamento da superfície média e um deslocamento perpendicular ao plano na direção . Podemos escrever o deslocamento no plano da superfície média como

Observe que o índice assume os valores 1 e 2 (mas não 3).

Assim, as hipóteses de Kirchhoff implicam que

Se são os ângulos de rotação da normal à superfície média, então no modelo de Kirchhoff-Love

Note-se que podemos interpretar a expressão para como a expansão de primeira ordem da série de Taylor para o deslocamento em torno da superfície média.

Deslocamento da superfície média (esquerda) e de uma normal (direita)

Placas de Kirchhoff-Love quasi-estáticas[editar | editar código-fonte]

A teoria original desenvolvida por Love é válida para deformações e rotações infinitesimais. A teoria foi ampliada por Theodore von Kármán para situações onde são admitidas rotações moderadas.

Relações deformação-deslocamento[editar | editar código-fonte]

Para a situação onde as deformações são infinitesimais e as rotações das normais à superfície média são menores que 10 graus, as relações deformação-deslocamento são

Usando as hipóteses cinemáticas obtemos

Portanto, as únicas deformações não-nulas são nas direções do plano de referência.

Equações de equilíbrio[editar | editar código-fonte]

As equações de equilíbrio da placa podem ser obtidas pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. Para uma placa fina submetida a uma carga transversal quasi-estática estas equações são

sendo a espessura da placa . Em notação indicial,

onde são as tensões.

Momentos fletores e tensões normais
Torques e tensões cisalhantes
Dedução das equações de equilíbrio para pequenas rotações
Para a situação em que as deformações e rotações da placa são pequenas a energia virtual interna é dada por

sendo a espessura da placa e as tensões resultantes e os momentos resultantes definidos por

Mediante integração por partes resulta

A simetria do tensor tensão implica que . Portanto,

Outra integração por partes fornece

Para o caso em que não há força externa prescrita, o princípio dos trabalhos virtuais implica que . As equações de equilíbrio da placa são portanto dadas por

Se a placa é solicitada por uma carga externa distribuída normal à superfície média e com sentido positivo , o trabalho virtual externo devido ao carregamento é

O Princípio dos Trabalhos Virtuais conduz então às equações de equilíbrio

Condições de contorno[editar | editar código-fonte]

The boundary conditions that are needed to solve the equilibrium equations of plate theory can be obtained from the boundary terms in the principle of virtual work. In the absence of external forces on the boundary, the boundary conditions are

Note that the quantity is an effective shear force.


Referências

  1. A. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
  2. Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.

Ver também[editar | editar código-fonte]