Teoria de placas e lâminas

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Em engenharia estrutural, as placas, as lâminas, assim como o elemento estrutural em edificações chamado laje, são elementos estruturais que geometricamente podem ser aproximados por uma superfície bidimensional e que trabalham predominantemente em flexão. Estruturalmente a diferença entre placas e lâminas está na curvatura. As placas são elementos cuja superfície média é plana, enquanto que as lâminas são superfícies curvadas no espaço tridimensional (como as cúpulas, as paredes de reservatórios ou tanques).

Construtivamente são sólidos deformáveis nos quais existe uma superfície média (que é a que se considera aproximada de uma placa ou lâmina), a qual se adiciona uma certa espessura constante por cima e por baixo do plano médio. O fato de que esta espessura é pequena comparada com as dimensões da lâmina e por sua vez pequena comparada com os raios de curvatura da superfície, é o que permite reduzir o cálculo de placas e lâminas reais a elementos idealizados bidimensionais.

Cálculo de placas[editar | editar código-fonte]

Hipóteses de Reissner-Mindlin[editar | editar código-fonte]

Deformação transversal de uma placa na hipótese de Reissner-Mindlin onde θi e dw/dxi não tem necessariamente que coincidir.

As hipóteses de Reissner-Mindlin são um conjunto de hipótese cinemáticas sobre como se deforma uma placa ou lâmina sob flexão que permitem relacionar os deslocamentos com as deformações. Uma vez obtidas as deformações a aplicação rotineira das equações da elasticidade permite encontrar as tensões, e encontrar a equação de governo que relaciona deslocamentos com as forças externas.

As hipóteses de Reissner-Mindlin para o cálculo elástico de placas e lâminas são:

  1. O material da placa é elástico linear.
  2. O deslocamento vertical para os pontos do plano médio não depende de z: uz(x, y, z) = w(x, y).
  3. Os pontos do plano médio só sofrem deslocamento vertical: ux(x, y,0) = 0, uy(x, y,0) = 0.
  4. A tensão perpendicular ao plano médio se anula: σzz= 0.

Como consequência os deslocamentos horizontais só se dão fora do plano médio e só se produzem por rotação do segmento perpendicular ao plano médio. Como consequência das hipóteses de Reissner-Mindlin os deslocamentos podem ser escritos como:


Hipótese de Love-Kirchhoff[editar | editar código-fonte]

Nas placas em que se despreza a deformação por cortante, pode-se supor adequadamente uma hipótese adicional, conhecida como hipótese de Love-Kirchhoff. Esta hipótese diz que:

5.


Esta hipótese é análoga à hipótese de Navier-Bernoulli para vigas. De fato existe um paralelo entre os modelos de vigas e de placas. O modelo de placa de Reissner-Mindlin é o equivalente da viga de Timoshenko, enquanto que o modelo de placa de Love-Kirchhoff é o equivalente da viga de Euler-Bernoulli.

As hipóteses de Reissner-Mindlin combinadas com a hipótese de Love-Kirchhoff proporcionam uma hipótese cinemática para os deslocamentos. A partir desses deslocamentos pode se calcular facilmente as deformações para uma placa delgada:


Em função dessas deformações as tensões são calculadas trivialmente a partir das equações de Lamé-Hooke que generalizam a lei de Hooke para sólidos deformáveis.

Equação de Lagrange para placas delgadas[editar | editar código-fonte]

Para uma placa plana de espessura constante na qual sejam válidas as hipótesis de Reissner-Mindlin e Love-Kircchoff o caimento vertical em cada ponto sob a ação das cargas apoiadas sobre ela é dado por:

[1]

Onde w(x, y) é a flexão vertical ou caimento vertical da placa no ponto de coordenadas (x, y), q(x, y) é a carga por unidade de área no mesmo ponto, o operador laplaciano é definido pela seguinte soma de operadores:


E finalmente a constante D é a rigidez flexional de placas e é dada em função da espessura da placa (h), o módulo de Young (E), o coeficiente de Poisson (ν):

É interessante notar que a equação [1] é o análogo da equação elástica para vigas. Para placas de espessura não constante, analogamente ao caso da equação elástica para vigas, a flexão e a carga aplicada estão relacionadas pela equação:

[2]

Onde agora a rigidez flexional D é função D(x, y) que depende do ponto concreto de placa.

Cálculo de tensões em placas delgadas[editar | editar código-fonte]

Em uma lâmina submetida fundamentalmente a flexão na qual se despreza a deformação por cortante, ou lâmina de Love-Kirchhof, os esforços internos se caracterizam por dois momentos fletores segundo duas direções mutuamente perpendiculares e um esforço torsor . Estes esforços estão diretamente relacionados com a flexão vertical w(x, y) em cada ponto por:

Onde:

, é o coeficiente de Poisson do material da placa.
, é a rigidez em flexão da placa, sendo:
o módulo de Young do material da placa, e h a espessura da placa.

As tensões sobre uma placa são diretamente calculáveis a partir dos esforços anteriores:

Cálculo de lâminas[editar | editar código-fonte]

Uma lâmina é um elemento estrutural bidimensional curvado. Se as placas se tratam analogamente as vigas retas, as lâminas são o análogo bidimensional dos arcos. Usando coordenadas curvilíneas ortogonais sobre a superfície podem se escrever as equações de equilíbrio para os esforços internos para uma lâmina de Reisner-Mindlin como:[1][2]

Onde:

, indicam as derivadas parciais em relação às coordenadas u, v.
é o módulo do vetor tangente associado à coordenada u.
é o módulo do vetor tangente associado à coordenada v.
são os raios de curvatura segundo as direções das linhas coordenadas.
são as forças por unidade de área em cada ponto da lâmina.
são os momentos por unidade de área em cada ponto da lâmina.
são os esforços de membrana.
são os esforços cortantes da placa.
são os momentos fletores da placa.
são os momentos torsores da placa.

Cúpula sob seu próprio peso[editar | editar código-fonte]

Como exemplo das equações anteriores podemos considerar uma cúpula em forma de calota esférica submetida a seu próprio peso. Cada ponto da cúpula bidimensional pode ser parametrizado mediante as coordenadas :

Com o qual temos os fatores geométricos seguintes:

E portanto as equações anteriores ficarão reduzidas a:

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Washizu, K. Variational methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, 1974. ISBN 978-0-08-026723-4.
  2. Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics, Wiley, 1962. ISBN 978-0-89464-364-4.