Norma matricial

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Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.

Definição de norma[editar | editar código-fonte]

Seja o espaço vetorial das matrizes reais ou complexas. Uma norma é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

[1]

Norma operacional euclidiana[editar | editar código-fonte]

Quando uma matriz é vista como um operador entre os espaços euclidianos e , a norma natural é dada pela norma operacional:

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:

  • , sempre que o produto está bem definido
  • onde é a matriz identidade.

Norma infinito ou norma do máximo[editar | editar código-fonte]

Seja uma matriz . A norma infinito ou norma do máximo da matriz , denotada por , é o número não negativo

(a maior soma absoluta das linhas)[2]

Norma 1[editar | editar código-fonte]

Seja uma matriz . A norma 1 da matriz , denotada por , é o número não negativo

A norma da matriz , por exemplo, é [3]

Normas baseadas nas entradas[editar | editar código-fonte]

Estas normas vetoriais tratam uma matriz como um vetor de tamanho e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Norma Induzida[editar | editar código-fonte]

Se a norma vetorial de é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

No caso de e , as normas podem ser calculadas como:

que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.
que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.
Demonstração para o caso p=1

Por um lado, considere

Por outro lado, seja o vetor , com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde ocorre. Tem-se

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

Cqd

Equivalência entre as normas[editar | editar código-fonte]

Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se e são normas em então existem constantes e tais que:

Referências

  1. Robert Plato. Concise numerical mathematics (em inglês) American Mathemcatical Society [S.l.] ISBN 0-8218-2953-X. 
  2. pág.22
  3. pag.22