Norma matricial

Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.

Definição de norma

Seja $M^{n\times m}\,$ o espaço vetorial das matrizes $n\times m\,$ reais ou complexas. Uma norma $\|.\|\,$ é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

1. $\|A\|=0 \Leftrightarrow A=0\,$
2. $\|\lambda A\|=|\lambda|\|A\|\,$
3. $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\,$

Norma operacional euclidiana

Quando uma matriz $A\in M^{n\times m}\,$ é vista como um operador entre os espaços euclidianos $\mathbb{R}^n\,$ e $\mathbb{R}^m\,$, a norma natural é dada pela norma operacional:

$\|A\|=\sup_{x\in\mathbb{R}^n,x\neq 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:

• $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|\,$, sempre que o produto está bem definido
• $\|I\|=1\,$ onde $I\,$ é a matriz identidade.

Norma infinito ou norma do máximo

Seja $A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s}\,$ uma matriz $r \times s$. A norma infinito ou norma do máximo da matriz $A\,$, denotada por $\| A \|_{\infty} \,$, é o número não negativo

$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \le i \|e r} \sum_{j=1}^s |a_{ij}|\,$

(a maior soma absoluta das linhas)

Norma 1

Seja $A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s}\,$ uma matriz $r \times s$. A norma 1 da matriz $A\,$, denotada por $\| A \|_1 \,$, é o número não negativo

$\|A\|_1 = \max_{1 \le j \le s} \sum_{i=1}^r |a_{ij}|\,$

A norma da matriz $A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\,$, por exemplo, é $\| A \|_1 = max \left\{ |1| + |2|, |3| + |-1| \right\} = max \left\{3, 4\right\} = 4\,$

Normas baseadas nas entradas

Estas normas vetoriais tratam uma matriz $m \times n$ como um vetor de tamanho $m n$ e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

$\Vert A \Vert_{p} = \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p \right)^{1/p}. \,$

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Norma Induzida

Se a norma vetorial de $R^n$ é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

$\begin{align} \|A\| &= \max\{\|Ax\| : x\in R^n \mbox{ with }\|x\|= 1\} \\ &= \max\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} : x\in R^n \mbox{ with }x\ne 0\right\}. \end{align}$

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

$\left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}.$

No caso de $p=1$ e $p=\infty$, as normas podem ser calculado como:

$\left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} |,$ que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.

$\left \| A \right \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} |,$ que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.

Demonstração para o caso p=1

Por um lado, considere

$\frac{\left \| A x\right \|}{\left \| x\right \|} = \frac{ \sum _{j=1} ^n | \sum _{i=1} ^n a_{ij} x_j|}{ \sum _{i=1} ^n | x_j |} \leq \frac{ \sum _{j=1} ^n \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | | x_j|}{ \sum _{i=1} ^n | x_j |} \leq \frac{ \sum _{j=1} ^n \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | | x_j|}{ \sum _{i=1} ^n | x_j |}=\max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | .$

Por outro lado, seja o vetor $x$, com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde $\max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} |$ ocorre. Tem-se

$| A x |= \sum _{i=1} ^n {| a_{ij} x_j|}= \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | .$

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

$\left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} |.$ Cqd

Equivalência entre as normas

Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se $\|.\|_1\,$ e $\|.\|_2\,$ são normas em $M^{n\times m}\,$ então existem constantes $C_1\,$ e $C_2\,$ tais que:

$C_1\|A\|_1\leq \|A\|_2 \leq C_2\|A\|_1,~~\forall A\in M^{n\times m}\,$