Norma matricial

Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.

Definição de norma

Seja $M^{n\times m}\,$$M^{n\times m}\,$ o espaço vetorial das matrizes $n\times m\,$$n\times m\,$ reais ou complexas. Uma norma $\|.\|\,$$\|.\|\,$ é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

1. $\|A\|=0\Leftrightarrow A=0\,$$\|A\|=0\Leftrightarrow A=0\,$
2. $\|\lambda A\|=|\lambda |\|A\|\,$$\|\lambda A\|=|\lambda |\|A\|\,$
3. $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\,$$\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\,$

Norma operacional euclidiana

Quando uma matriz $A\in M^{n\times m}\,$$A\in M^{n\times m}\,$ é vista como um operador entre os espaços euclidianos $\mathbb {R} ^{n}\,$${\mathbb {R}}^{n}\,$ e $\mathbb {R} ^{m}\,$${\mathbb {R}}^{m}\,$, a norma natural é dada pela norma operacional:

$\|A\|=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}$$\|A\|=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}$

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:

• $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|\,$$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|\,$, sempre que o produto está bem definido
• $\|I\|=1\,$$\|I\|=1\,$ onde $I\,$$I\,$ é a matriz identidade.

Norma infinito ou norma do máximo

Seja $A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}\,$$A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}\,$ uma matriz $r\times s$$r\times s$. A norma infinito ou norma do máximo da matriz $A\,$$A\,$, denotada por $\|A\|_{\infty }\,$$\|A\|_{\infty }\,$, é o número não negativo

$\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|\,$$\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|\,$

(a maior soma absoluta das linhas)

Norma 1

Seja $A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}\,$$A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}\,$ uma matriz $r\times s$$r\times s$. A norma 1 da matriz $A\,$$A\,$, denotada por $\|A\|_{1}\,$$\|A\|_{1}\,$, é o número não negativo

$\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq s}\sum _{i=1}^{r}|a_{ij}|\,$$\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq s}\sum _{i=1}^{r}|a_{ij}|\,$

A norma da matriz $A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}}\,$$A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}}\,$, por exemplo, é $\|A\|_{1}=max\left\{|1|+|2|,|3|+|-1|\right\}=max\left\{3,4\right\}=4\,$$\|A\|_{1}=max\left\{|1|+|2|,|3|+|-1|\right\}=max\left\{3,4\right\}=4\,$

Normas baseadas nas entradas

Estas normas vetoriais tratam uma matriz $m\times n$$m\times n$ como um vetor de tamanho $mn$$mn$ e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

$\Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.\,$$\Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.\,$

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Norma Induzida

Se a norma vetorial de $R^{n}$$R^n$ é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

${\begin{aligned}\|A\|&=\max\{\|Ax\|:x\in R^{n}{\mbox{ with }}\|x\|=1\}\\&=\max \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in R^{n}{\mbox{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}\|A\|&=\max\{\|Ax\|:x\in R^{n}{\mbox{ with }}\|x\|=1\}\\&=\max \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in R^{n}{\mbox{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}$

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

$\left\|A\right\|_{p}=\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\left\|Ax\right\|_{p}}{\left\|x\right\|_{p}}}.$$\left\|A\right\|_{p}=\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\left\|Ax\right\|_{p}}{\left\|x\right\|_{p}}}.$

No caso de $p=1$$p=1$ e $p=\infty$$p=\infty$, as normas podem ser calculadas como:

$\left\|A\right\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|,$$\left\|A\right\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|,$ que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.

$\left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,$$\left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,$ que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.

Demonstração para o caso p=1

Por um lado, considere

${\frac {\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|}}={\frac {\sum _{j=1}^{n}|\sum _{i=1}^{n}a_{ij}x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.$${\frac {\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|}}={\frac {\sum _{j=1}^{n}|\sum _{i=1}^{n}a_{ij}x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.$

Por outro lado, seja o vetor $x$$x$, com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde $\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|$$\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|$ ocorre. Tem-se

$|Ax|=\sum _{i=1}^{n}{|a_{ij}x_{j}|}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.$$|Ax|=\sum _{i=1}^{n}{|a_{ij}x_{j}|}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.$

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

$\left\|A\right\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.$$\left\|A\right\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.$ Cqd

Equivalência entre as normas

Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se $\|.\|_{1}\,$$\|.\|_{1}\,$ e $\|.\|_{2}\,$$\|.\|_{2}\,$ são normas em $M^{n\times m}\,$$M^{n\times m}\,$ então existem constantes $C_{1}\,$$C_{1}\,$ e $C_{2}\,$$C_{2}\,$ tais que:

$C_{1}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq C_{2}\|A\|_{1},~~\forall A\in M^{n\times m}\,$$C_{1}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq C_{2}\|A\|_{1},~~\forall A\in M^{n\times m}\,$