Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.
Seja
o espaço vetorial das matrizes
reais ou complexas. Uma norma
é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades
- [1]



Quando uma matriz
é vista como um operador entre os espaços euclidianos
e
, a norma natural é dada pela norma operacional:

A definição é análoga para o caso complexo.
Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:
, sempre que o produto está bem definido
onde
é a matriz identidade.
Seja
uma matriz
. A norma infinito ou norma do máximo da matriz
, denotada por
, é o número não negativo

(a maior soma absoluta das linhas)[2]
Seja
uma matriz
. A norma 1 da matriz
, denotada por
, é o número não negativo

A norma da matriz
, por exemplo, é
[3]
Estas normas vetoriais tratam uma matriz
como um vetor
de tamanho
e utilizam uma das normas vetoriais usuais.
Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a
mesma.
O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a
nórma do máximo.
A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica.
Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.
Se a norma vetorial de
é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

No caso de
e
, as normas podem ser calculadas como:
que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.
que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.
- Demonstração para o caso p=1
Por um lado, considere

Por outro lado, seja o vetor
, com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde
ocorre.
Tem-se

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos
Cqd
Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se
e
são normas em
então existem constantes
e
tais que:

Referências