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Um operador autoadjunto , hermitiano (português brasileiro ) ou hermítico (português europeu ) é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada .[ 1]
⟨
T
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
T
y
⟩
,
∀
x
,
y
{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,~~\forall x,y\,}
Todo autovalor
λ
{\displaystyle \lambda \,}
de um operador autoadjunto
T
{\displaystyle T\,}
é real :
λ
⟨
v
,
v
⟩
=
⟨
T
v
,
v
⟩
=
⟨
v
,
T
v
⟩
=
λ
¯
⟨
v
,
v
⟩
{\displaystyle \lambda \langle v,v\rangle =\langle Tv,v\rangle =\langle v,Tv\rangle ={\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \,}
Se
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}\,}
e
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}\,}
são autovalores diferentes associados a autovetores
v
1
{\displaystyle v_{1}\,}
e
v
2
{\displaystyle v_{2}\,}
. Então
⟨
v
1
,
v
2
⟩
=
0
{\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0\,}
:
λ
1
⟨
v
1
,
v
2
⟩
=
⟨
T
v
1
,
v
2
⟩
=
⟨
v
1
,
T
v
2
⟩
=
λ
2
⟨
v
1
,
v
2
⟩
{\displaystyle \lambda _{1}\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle Tv_{1},v_{2}\rangle =\langle v_{1},Tv_{2}\rangle =\lambda _{2}\langle v_{1},v_{2}\rangle \,}
⟹
(
λ
1
−
λ
2
)
⟨
v
1
,
v
2
⟩
=
0
{\displaystyle \Longrightarrow (\lambda _{1}-\lambda _{2})\langle v_{1},v_{2}\rangle =0}
Como
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
e
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
são distintos, temos
λ
1
−
λ
2
≠
0
{\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}\neq 0}
, portanto
⟨
v
1
,
v
2
⟩
=
0
{\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0}
.
Dizer que duas funções diferentes
Ψ
i
{\displaystyle \Psi _{i}}
e
Ψ
j
{\displaystyle \Psi _{j}}
são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:
∫
Ψ
i
∗
Ψ
j
d
t
=
0
{\displaystyle \int \Psi _{i}^{*}\Psi _{j}dt=0}
para
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
Sejas duas autofunções
Ψ
n
{\displaystyle \Psi _{n}}
e
Ψ
m
{\displaystyle \Psi _{m}}
correspondentes a dois valores diferentes de energia
E
n
{\displaystyle E_{n}}
e
E
m
{\displaystyle E_{m}}
respectivamente. Podemos então escrever:
H
^
Ψ
n
=
E
n
Ψ
n
{\displaystyle {\widehat {H}}\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}}
e
H
^
Ψ
m
=
E
m
Ψ
m
{\displaystyle {\widehat {H}}\Psi _{m}=E_{m}\Psi _{m}}
∫
Ψ
m
∗
H
^
Ψ
n
d
t
=
E
n
∫
Ψ
m
∗
Ψ
n
d
t
{\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt}
e
∫
Ψ
n
∗
H
^
Ψ
m
d
t
=
E
m
∫
Ψ
n
∗
Ψ
m
d
t
{\displaystyle \int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt=E_{m}\int \Psi _{n}^{*}\Psi _{m}dt}
∫
Ψ
m
∗
H
^
Ψ
n
d
t
−
(
∫
Ψ
n
∗
H
^
Ψ
m
d
t
)
∗
=
E
n
∫
Ψ
m
∗
Ψ
n
d
t
−
E
m
∫
Ψ
n
Ψ
m
∗
d
t
{\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt-{\biggl (}\int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt{\biggl )}^{*}=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt-E_{m}\int \Psi _{n}\Psi _{m}^{*}dt}
Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:
0
=
(
E
n
−
E
m
)
∫
Ψ
m
∗
Ψ
n
d
t
{\displaystyle 0=(E_{n}-E_{m})\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt}
Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.
No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada . O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.[ 1]
Teorema
Considere
A
{\displaystyle A}
uma matriz Hermitiana de ordem
n
{\displaystyle n}
,
r
{\displaystyle r}
um inteiro com
1
≤
r
≤
n
{\displaystyle 1\leq r\leq n}
e
A
r
{\displaystyle A_{r}}
uma submatriz principal de ordem
r
{\displaystyle r}
de
A
{\displaystyle A}
(obtida removendo
n
−
r
{\displaystyle n-r}
linhas e suas colunas correspondentes de
A
{\displaystyle A}
). Para cada inteiro
k
{\displaystyle k}
tal que
1
≤
k
≤
r
{\displaystyle 1\leq k\leq r}
, obtemos
λ
k
(
A
)
≤
λ
k
(
A
r
)
≤
λ
k
+
n
−
r
(
A
)
.
{\displaystyle \lambda _{k}(A)\leq \lambda _{k}(A_{r})\leq \lambda _{k+n-r}(A).}
Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão .
Referências